In diesem Kapitel bezeichnet $V$ einen Vektorraum endlicher Dimension $dim(V)=n$ über einem gegebenen Grundkörper $K$.
Definition. Ein Endomorphismus $f\colon V\to V$ induziert einen Endomorphismus $f^*\colon Alt^n(V)\to Alt^n(V)$ des Vektorraums der alternierenden $n$-Formen auf $V$. Als Endomorphismus eines eindimensionalen Vektorraums ist $f^*$ Multiplikation mit einer Zahl im Grundkörper $K$. Diese Zahl heißt Determinante von $f$, im Zeichen $\det(f)\in K$.
Ordnen wir jedem Endomorphismus seine Determinante zu, so erhalten wir eine Abbildung
\[\det\colon\mathrm{end}_K(V)\to K.\] Diese Abbildung ist multiplikativ, das heißt es gilt \[\det(f\circ g)=\det(f)\cdot \det(g).\] Dies folgt unmittelbar aus der Kompositionsregel $(f\circ g)^*=g^*\circ f^*$, die wir zu Beginn der Diskussion von alternierenden Multilinearformen bemerkten. Wir werden im Folgenden einige weitere Eigenschaften und auch alternative Beschreibungen dieser Abbildung näher untersuchen, sowie Berechnungsmethoden erörtern.