2. Universelle Konstruktionen

Es sollen topologische Räume konstruiert werden. Dabei interessieren wir uns vorrangig für die Funktionalität der Konstruktionen. Das entspricht auch dem Anspruch, den wir an Objekte unseres täglichen Lebens stellen: Ein Auto, Flugzeug, Handy soll eine gewisse Funktionalität besitzen. Wie genau diese Funktionalität technisch realisiert wird, wie es unter der Motorhaube genau aussieht, interessiert uns nur insoweit, als wir uns vergewissern wollen, dass die Geräte die vom Hersteller in der Betriebsanleitung beschriebenen Eigenschaften tatsächlich besitzen.

In den nachfolgenden Konstruktionen erweisen sich die Begriffe Basis und Subbasis als nützlich.

2.0.1. Definition. Es sei $(X,\mathcal T)$ ein topologischer Raum.

1. Eine Teilmenge $\mathcal B\subset \mathcal T$ heißt Basis der Topologie, wenn jede offene Menge $U\in \mathcal T$ sich als Vereinigung von Elementen von $\mathcal B$ darstellen lässt.
2. Eine Teilmenge $\mathcal S\subset \mathcal T$ heißt Subbasis der Topologie, wenn die Menge $$\mathcal B:=\left\{ V\subset X\, \middle|\, V=\bigcap_{j\in J}S_j, S_j\in \mathcal S, |J|\lt \infty\right\}$$ der endlichen Durchschnitte von Elementen von $\mathcal S$ eine Basis von $\mathcal T$ bildet.

2.0.2. Beispiele und Bemerkungen.

• Ist $(X,d)$ ein metrischer Raum und $Y\subset X$ ein dichter Unterraum. Dann bildet die Menge $$\mathcal B=\left\{U_{\frac1n}(y) \mid n\in \mathbb N, y\in Y\right\} $$ der $\frac1n$-Umgebungen der Punkte in $Y$ eine Basis der metrischen Topologie auf $X$. Denn ist $V\subset X$ offen und $x\in U$, so gibt es ein $\varepsilon\gt 0$, so dass die ganze $\varepsilon$-Umgebung $U_\varepsilon(x)$ noch ganz in $V$ enthalten ist. Es sei $n\gt \frac2\varepsilon$. Da $Y$ dicht in $X$ liegt, gibt es ein $y\in Y$ mit $y\in U_{\frac1n}(x)$ und insbesondere $x\in U_{\frac1n}(y)$. Ist $z\in U_{\frac1n}(y)$, so liefert die Dreiecksungleichung die Abschätzung $$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)\lt \frac1n+\frac1n=\frac2n\lt\varepsilon$$ und folglich $$x\in U_{\frac1n}(y)\subset U_{\frac2n}(x)\subset U_\varepsilon(x)\subset V.$$
• Die Menge $\mathcal S:=\{(q,\infty)\mid q\in \mathbb Q\}\cup\{(-\infty,q')\mid q'\in\mathbb Q\}$ bildet eine Subbasis der metrischen Topologie von $\mathbb R$.
• Eine Subbasis $\mathcal S$ ist eine Basis, wenn für je zwei Elemente $S_1,S_2\in \mathcal S$ der Durchschnitt wieder ein Element von $\mathcal S$ ist.
• Jede Teilmenge $\mathcal S\subset \mathfrak P(X)$ der Potenzmenge einer gegebenen Menge $X$ ist Subbasis einer Topologie $\mathcal T(\mathcal S)$. Man nennt $\mathcal T(\mathcal S)$ die von $\mathcal S$ erzeugte Topologie. Sie ist gegeben durch $$\mathcal T(\mathcal S)=\left\{\bigcup_{i\in I} \left(\bigcap_{j_i\in J_i}S_{j_i}\right), I \text{ beliebige Indexmenge, } S_{j_i}\in \mathcal S, |J_i|\lt \infty \text{ für alle }i\in I\right\}.$$

2.0.3. Proposition. Es sei $f\colon X\to Y$ eine Abbildung zwischen topologischen Räumen und $\mathcal S\subset \mathcal T_Y$ eine Subbasis der Topologie von $Y$. Dann ist $f$ genau dann stetig, wenn die Urbilder $f^{-1}(S)$ für alle $S\in \mathcal S$ offen in $X$ sind.

Beweis. Ist $f$ stetig, so sind die Urbilder der offener Mengen in $Y$, insbesondere die Urbilder der Elemente von $\mathcal S$, offen in $X$.
Ist umgekehrt für jedes $S\in \mathcal S$ das Urbild $f^{-1}(S)$ offen in $X$, und sei $V\subset Y$ offen. Da $\mathcal S$ eine Subbasis der Topologie auf $Y$ ist, lässt sich $V$ darstellen $$V=\bigcup_{i\in I} \left(\bigcap_{j_i\in J_i}S_{j_i}\right)$$ mit $S_{j_i}\in \mathcal S$ für eine Indexmenge $I$ und jeweils endliche Indexmengen $J_i$ für alle $i\in I$. Wegen $$f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I} \left(\bigcap_{j_i\in J_i}S_{j_i}\right)\right)=\bigcup_{i\in I} \left(\bigcap_{j_i\in J_i}f^{-1}\left(S_{j_i}\right)\right)$$ ist das Urbild von $V$ offen in $X$.
qed