Sei $f\colon K^n\to K^n$ bezüglich der Standardbasis beschrieben durch eine Matrix $A$. Wie kann man eine Matrix $S$ finden, so dass $S^{-1}AS$ eine Diagonalmatrix ist?
- Man berechnet das charakteristische Polynom und bestimmt dessen Nullstellen. Zerfällt das charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren, so ist $f$ nicht diagonalisierbar.
- Mittels des Gaußschen Algorithmus berechnet man den Kern der Abbildung $\lambda-f$ für jeden Eigenwert $\lambda$. Ist die Dimension des Kerns kleiner als die Vielfachheit von $\lambda$ als Nullstelle des charakteristischen Polynoms, so ist $f$ nicht diagonalisierbar.
- Stimmen Dimension des Kerns von $\lambda-f$ und Vielfachheit als Nullstelle überein, so läßt $f$ sich diagonalisieren. Bilden $v_1,\ldots,v_n$ eine Basis von Eigenvektoren, so können wir diese Vektoren darstellen als Linearkombinationen
\[v_j=\sum_{i=1}^ns_{ij}e_i\] der Standardeinheitsvektoren $e_i$. Die aus den Koeffizienten gebildete Matrix $S=(s_{ij})$ ist dann die gesuchte Transformationsmatrix. Bezüglich der Standardbasis wird $v_j$ nämlich als Spaltenvektor repräsentiert und zwar durch die $j$-te Spalte der Matrix $S$. Die Gleichung
\[AS=S\cdot \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\] beschreibt nun in kompakter Form die Eigenwertgleichungen $Av_j=\lambda_jv_j$ für alle $j$ gleichzeitig. Die Matrix $S^{-1}AS$ ist folglich diagonal. Die inverse Matrix $S^{-1}$ läßt sich aus $S$ vermittels des Gaußschen Algorithmus berechnen. Dies wurde bei einer anderen Gelegenheit besprochen.