Beispiele

Beispiele normaler Endomorphismen.

1. Unitäre und orthogonale Abbildungen. Für diese gilt $$\phi^*\phi=\phi\phi^*=\mathrm{id}.$$ Bezüglich ON-Basen werden diese dargestellt durch Matrizen, welche den Gleichungen $A^*A=AA^*=\mathbb I$ genügen.
2. Selbstadjungierte Abbildungen, für die gilt $\phi=\phi^*$. Bezüglich ON-Basen werden diese durch Matrizen dargestellt, welche der Gleichung $A^*=A$ genügen. Das heißt, die Matrizen sind im reellen Falle symmetrisch, im komplexen Fall hermitesch.
3. Antiselbstadjungierte Abbildungen, für die gilt $\phi=-\phi^*$. Bezüglich ON-Basen werden diese durch schief-symmetrische Matrizen, bzw. durch schief-hermitesche Matrizen dargestellt.

Die Tatsache, dass normale Endomorphismen komplexer Vektorräume eine ON-Basis von Eigenvektoren besitzen, lässt sich unmittelbar übersetzen in Aussagen über entsprechende Matrizen:

Korollar. Es sei $A$ eine quadratische Matrix mit komplexen Einträgen. In folgenden Fällen existiert jeweils eine unitäre Matrix $U$, so dass $U^*AU$ diagonal ist:

1. Die Matrix $A$ ist unitär. Die Einträge in der Diagonalmatrix $U^*AU$ sind komplexe Zahlen vom Betrag $1$.
2. Die Matrix $A$ ist hermetisch. Die Einträge in der Diagonalmatrix $U^*AU$ sind reell.
3. Die Matrix $A$ ist schief-hermitesch. Die Einträge in der Diagonalmatrix $U^*AU$ sind rein imaginär.

Beweis. Im ersten Fall ist $U^*AU$ ebenfalls unitär. Die Spalten bilden also eine ON-Basis von $\mathbb C^n$. Daraus folgt die Behauptung. Im zweiten Fall stimmen die Eigenwerte der durch $A$ beschriebenen Abbildung mit ihren komplex Konjugierten überein, sind also reell. Im dritten Fall sind die Eigenwerte der durch $A$ beschriebenen Abbildung die Negativen von der durch $A^*$ beschriebenen, sind also rein imaginär.
qed.

Die entsprechenden Konsequenzen im Falle reeller Vektorräume sind etwas umständlicher zu formulieren, aber ebenso offensichtlich.

Korollar. Es sei $A$ eine quadratische Matrix mit reellen Einträgen.

1. Ist $A\in O(n)$ orthogonal, dann gibt es eine Matrix $T\in O(n)$, so dass $T^{-1}AT$ von der Form \begin{pmatrix} D&&&&&&\\
   &A_1&&&\\
   && \ddots&&\\
   &&&\ddots&\\
   &&&&&A_k
   \end{pmatrix} ist. Man sagt $A$ sei in $O(n)$ konjugiert zu einer Matrix dieser Form. Hier ist $D$ eine quadratische Diagonalmatrix mit Elementen $\pm 1$ auf der Diagonalen und jedes $A_j$ ist eine $2\times 2$-Drehmatrix der Form $$\begin{pmatrix}\cos\phi_j&\sin\phi_j\\-\sin\phi_j&\cos\phi_j\end{pmatrix}.$$
2. Ist $A$ symmetrisch, so existiert eine orthogonale Matrix $T$ mit $T^{-1}AT$ diagonal.
3. Ist $A$ schief-symmetrisch, so ist für eine geeignet gewählte orthogonale Matrix $T$ die Matrix $T^{-1}AT$ von der Form \begin{pmatrix} 0\\& \ddots&\\&&0\\&&& B_1&&\\
   &&&& \ddots&\\
   &&& &&B_k
   \end{pmatrix} mit Nullen und schief-symmetrischen $2\times 2$-Matrizen $B_j$ entlang der Diagonalen.

Beweis. Im ersten Fall ist $T^*AT$ ebenfalls orthogonal und von der Gestalt wie im Satz über normale Endomorphismen euklidischer Vektorräume erläutert. Da die Spalten in dieser Matrix eine ON-Basis von $\mathbb R^n$ bilden, sind die Matrizen notwendig von der behaupteten Gestalt. Im zweiten Fall ist die reelle Matrix $T^{-1}AT$ aus dem Satz symmetrisch. Es können also keine der nicht-symmetrischen $2\times 2$-Matrizen in der Diagonale auftreten. Im dritten Fall ist die reelle Matrix $T^{-1}AT$ nach dem Satz schiefsymmetrisch. Die Einträge in der Diagonale sind also alle gleich Null.
qed.