Definition. Ein kommutativer Ring mit $1$ heißt noethersch, wenn jede echt aufsteigende Folge $$I_0\subsetneqq I_1 \subsetneqq \ldots \subsetneqq I_n\subsetneqq \ldots$$ von Idealen in $R$ nach endlich vielen Schritten abbricht.
Die meisten der in der Algebra betrachteten Ringe sind noethersch. Wir werden diesen für die Algebra zentralen Begriff tatsächlich nur im folgenden Lemma benutzen.
Lemma. Hauptidealringe sind noethersch.
Beweis. Angenommen, es gäbe eine unendliche Folge $$(q_0)\subsetneqq (q_1) \subsetneqq \ldots \subsetneqq (q_n)\subsetneqq \ldots$$ echt aufsteigender Ideale im Hauptidealring $R$. Es sei $I\subset R$ das von den Elementen $q_0,q_1,\ldots,q_n,\ldots$ erzeugte Ideal. Da $R$ Hauptidealring ist, wird $I$ von einem Element $q$ erzeugt. Dies Element ist Linearkombination $$q=\sum_{i=0}^Nr_iq_i$$ von endlich vielen der $q_i$. Insbesondere gilt $q\in (q_N)$ und damit $I\subset (q_N)$ im Widerspruch zur Annahme.
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Definition. Sind $I,J\subset R$ zwei Ideale in einem kommutativen Ring mit $1$ so bezeichnet $I\cdot J$ das von den Produkten $r\cdot s$ mit $r\in I, s\in J$ erzeugte Ideal.
Ist eine ganze Zahl $n$ Vielfaches einer anderen ganzen Zahl $m$, so ist der Faktor eindeutig bestimmt und wird mit $\frac nm$ bezeichnet. Dies Phänomen gilt allgemeiner für Ideale in Hauptidealringen:
Proposition. Es sei $R$ ein Hauptidealring und $r,r'\in R\setminus \{0\}$ mit $(r)\supset (r')$. Dann gibt es eindeutig ein Ideal $(t)$ mit $(r')=(t)\cdot ( r)$.
Beweis. Es ist $r'=t\cdot r$ für ein $t\in R$. Folglich gilt $(r')=(t)\cdot ( r)$. Sei $t'\in R$ gegeben mit $(r')=(t)\cdot ( r)=(t')\cdot ( r)$, so gibt es $u, u'\in R$ mit $tr=ut'r$ und $t'r=u'tr$. Daraus folgt $tr=uu'tr$ oder äquivalent $$(1-uu')r'=0.$$ Da $R$ nullteilerfrei ist, muss gelten $1-uu'=0$ oder $uu'=1$. Folglich sind $u$ und $u'$ Einheiten in $R$ und damit gilt $(t)=(t')$.
qed
Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Es sei $(0)\subsetneqq I\subsetneqq R$ ein Ideal in einem Hauptidealring. Dann existieren endlich viele, nicht notwendig verschiedene, maximale Ideale $\mathfrak m_1,\ldots,\mathfrak m_n$ mit $$I=\mathfrak m_1\cdot \ldots\cdot\mathfrak m_n.$$ Die Ideale $\mathfrak m_k$ sind, abgesehen von der Reihenfolge, eindeutig bestimmt.
Beweis. Es sei $I=I_0\subsetneqq I_1 \subsetneqq \ldots \subsetneqq I_n$ eine echt aufsteigende Folge von Idealen. Da $R$ noethersch ist, können wir annehmen, sie sei von maximaler Länge $n$. Dann gilt $I_n=R$. Außerdem ist das Teilerideal $\{t\in R\,\vert\, (t)\cdot I_k \subset I_{k-1}\}$, das nach der obigen Proposition eindeutig existiert, für alle $k\le n$ ein maximales Ideal $\mathfrak m_k$. Es gilt also $I= \mathfrak m_1\cdot \ldots\cdot\mathfrak m_n.$
Die Eindeutigkeit beweisen wir, wie schon im vergangenen Semester bei den ganzen Zahlen, induktiv über die Länge der Primfaktorzerlegung: Ist diese Länge $n$ gleich $1$, so ist $I$ schon maximal und die Zerlegung in ein Produkt (mit nur einem Faktor) ist eindeutig.
Die Induktionsannahme besagt: Alle Ideale, die sich als ein Produkt von $n-1$ maximalen Idealen darstellen lassen, besitzen eine eindeutige solche Darstellung als Produkt.
Im Induktionsschritt nehmen wir an, $I= \mathfrak m_1\cdot \ldots\cdot\mathfrak m_n$ lasse sich außerdem als Produkt $\mathfrak m'_1\cdot \ldots\cdot\mathfrak m'_{n'}$ für maximale Ideale $\mathfrak m'_k$ mit $k\le n'$ darstellen. Dann ist $I=\mathfrak m'_1\cdot \ldots\cdot\mathfrak m'_{n'}$ enthalten im Ideal $\mathfrak m_n$. Da das Produkt $I=\mathfrak m'_1\cdot \ldots\cdot\mathfrak m'_{n'}$ in $\mathfrak m_n$ enthalten ist, muss schon einer der Faktoren in $\mathfrak m_n$ enthalten sein, da $\mathfrak m_n$ prim ist. Nach der obigen Proposition gibt es also eindeutig ein Ideal $I'$ mit $I'\cdot \mathfrak m_n=I$. Dies lässt sich einerseits als Produkt $\mathfrak m_1\cdot \ldots\cdot\mathfrak m_{n-1}$, andererseits als Produkt von $n'-1$ vielen der gestrichelten maximalen Ideale darstellen. Nach Induktionsannahme sind diese Faktoren, abgesehen von der Reihenfolge, eindeutig.
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