Lineare Unabhängigkeit

Definition. Vektoren $v_1, \ldots, v_n$ eines $K$-Vektorraumes heißen linear unabhängig, wenn aus einer Gleichung $$k_1 v_1+k_2 v_2 +\ldots +k_n v_n=0$$ mit $k_1,\ldots, k_n\in K$ stets folgt $k_1=k_2=\ldots=k_n=0.$ Die Vektoren $v_1,\ldots, v_n\in V$ heißen umgekehrt linear abhängig, falls eine Gleichung $$
k_1 v_1+\ldots + k_n v_n=0
$$ gilt, in der nicht alle $k_i=0$ sind.

Beispiele.

1. Der Nullvektor ist linear abhängig $1\cdot0=0$.
2. Ein Vektor $v\not=0$ ist linear unabhängig.
3. Zwei Vektoren $v_1, v_2$ sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt: $v_1\not= 0, v_2 \not= 0$ und $v_1$ ist kein Vielfaches von $v_2$.
4. Die Einheitsvektoren $$
   \begin{array}{c}
   e_i=(0,0\ldots,1,0,\ldots,0)\in K^n\\
   \uparrow\\
   i-{\text te\; Stelle}
   \end{array}
   $$ (mit $i=1,\ldots, n$) sind linear unabhängig, denn $$
   k_1 e_1+ k_2 e_2+\ldots +k_n e_n=
   (k_1,k_2,\ldots,k_n)=0\Leftrightarrow
   k_1=k_2\ldots =k_n=0.
   $$

Definition. Sind $v_1, \ldots, v_n$ Vektoren eines $K$-Vektorraumes, $k_1,\ldots, k_n\in K,$ so heißt $$w=k_1 v_1+\ldots + k_n v_n$$ eine Linearkombination von $v_1,\ldots, v_n$.

Satz. Die Darstellung eines Vektors $w$ als Linearkombination von linear unabhängigen Vektoren $v_1,\ldots, v_n$ ist eindeutig.

Beweis.
Seien $k_1 v_1+ k_2 v_2 +\ldots + k_n v_n= w=k_1' v_1+ k'_2 v_2+\ldots +k'_n v_n$ zwei Darstellungen. Dann folgt $$
(k_1-k'_1)v_1+(k_2-k'_2)v_2+\ldots +(k_n-k'_n)v_n=0.
$$ Da die $v_1,\ldots, v_n$ linear unabhängig sind, folgt $k_i=k'_i$ für $1\le i\le s$.
qed