In diesem Abschnitt bezeichnet $f\colon V\to W$ eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen $V$ und $W$ über einem Körper $K$.
Definition.
- Der Kern von $f$ ist das Urbild der Null $$\ker(f):=\{v\in V\,\vert\, f(v)=0\}\subset V.$$
- Das Bild von $f$ bezeichnet man mit $$\mathrm{im}(f)=f(V):=\{w\in W\,\vert\, w=f(v) \text{ für ein}\,v\in V\}\subset W.$$
Proposition. Sind $V'\subset V$ und $W'\subset W$ Untervektorräume, so sind auch Bild $f(V')\subset W$ und Urbild $f^{-1}(W')\subset V$ Untervektorräume. Insbesondere sind Kern und Bild einer linearen Abbildung Untervektorräume.
Beweis. Wir müssen nur nachweisen, dass Urbilder und Bilder von Untervektorräumen abgeschlossen sind gegenüber Vektoraddition und Multiplikation mit Skalaren. Das folgt aber sofort aus der Linearitätsbedingung $$f(v)+f(v')=f(v+v')\,\text{und}\, f(k v)=k f(v).$$qed
Proposition. Der Homomorphismus $f$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor besteht.
Beweis. Sei zuerst $f$ als injektiv angenommen. Dann besteht das Urbild $f^{-1}(0)=\ker(f)$ aus höchstens einem Punkt. Wegen $f(0)=0$ ist der Nullvektor immer im Kern enthalten.
Ist $f$ nicht injektiv, so gibt es ein $w\in W$ und Elemente $v\not= v'$ in $V$ mit $f(v)=f(v')$. Dann ist aber $f(v-v')=f(v)-f(v')=w-w=0$. Der Kern von $f$ enthält also außer dem Nullvektor noch das von Null verschiedene Element $v-v'$.
qed
Definition. Ist $U\subset V$ ein Untervektorraum und $v\in V$, so nennt man die Menge $$v+U:=\{v+u\,\vert\, u\in U\}\subset V$$ einen affinen Unterraum von $V$.
Proposition. Das Urbild eines Vektors unter einer linearen Abbildung ist entweder die leere Menge oder ein affiner Unterraum der Form $v+\ker(f)$.
Beweis. Ist $w=f(v)$ für ein $v\in V$ und ist $v'\in f^{-1}(w)$ ein Element des Urbildes von $w$, so ist die Differenz $v-v'=u$ im Kern von $f$, da $f(u)=f(v)-f(v')=0$ gilt. Umgekehrt gilt für $u\in \ker(f)$ die Gleichung $f(v+u)=f(v)+f(u)=w+0=w$.
qed
Der Kern $\ker(f)$ beschreibt also, wieviel bei einer linearen Abbildung $f:V\to W$ verlorengeht, welcher Teil des Vektorraums $V$ sich im Bild nicht widerspiegelt. Genauer gilt:
Dimensionssatz. $$\dim(\ker f) +\dim(\mathrm{im}\,f) =\dim(V)$$
Beweis. Wir wählen eine Basis $B_0$ von $\ker(f)$ und setzen diese fort zu einer Basis $B=B_0\,\dot{\cup}\,B_1$ des Vektorraumes $V$. Es sei $U\subset V$ der von $B_1$ aufgespannte Untervektorraum. Wir werden zeigen, dass die auf den Unterraum $U$ eingeschränkte Abbildung $f\vert_U\colon U\to \mathrm{im}(f)$ ein Isomorphismus ist.
Zuerst einmal ist $f\vert_U$ injektiv: Es ist $\ker(f\vert_U)=\ker(f)\cap U$. Jedes Element dieses Durchschnitt läßt sich darstellen als Linearkombination von $B_0$ sowie als Linearkombination des Komplements $B_1$. Da $B$ linear unabhängig ist, besteht dieser Durchschnitt nur aus dem Nullvektor.
Die Abbildung $f\vert_U$ ist auch surjektiv: Ist nämlich $w=f(v)\in \mathrm{im}(f)$, so läßt sich $v$ zerlegen $v=v'+u$ mit $v'\in \ker(f)=\langle B_0\rangle$ und $u\in U=\langle B_1\rangle$, da $v$ in der linearen Hülle $\langle B\rangle$ ist. Dann ist aber $w=f(v)=f(v')+f(u)=f(u)$.
Da $\mathrm{im}(f)$ und $U$ isomorph sind, stimmen ihre Dimensionen überein. Folglich gilt $$\dim(\ker f) +\dim(\mathrm{im}\,f)=|B_0|+|B_1|=|B|=\dim(V).$$ qed
Eine unmittelbare, häufig gebrauchte Folgerung ist:
Korollar. Seien $V$ und $W$ Vektorräume gleicher, endlicher Dimension. Dann sind für eine lineare Abbildung $f:V\to W$ die folgenden Aussagen äquivalent:
- $f$ ist injektiv,
- $f$ ist surjektiv,
- $f$ ist bijektiv.
Beweis. Ist $f$ injektiv, so ist $\ker(f)=0$ und nach dem Dimensionssatz folgt $\dim(\mathrm{im}\,f)=dim(V)$. Nach Voraussetzung hat also der Unterraum $\mathrm{im}(f)\subset W$ die gleiche Dimension wie $W$. Es kann sich nicht um einen echten Unterraum handeln, somit ist $f$ surjektiv.
Ist umgekehrt $f$ surjektiv, so gilt $\mathrm{im}(f)=W$ und nach dem Dimensionssatz $$\dim(\ker f)=\dim(V)-\dim(\mathrm{im}\,f)=\dim(V)-\dim(W)=0.$$ Also ist $f$ injektiv.
qed