Wir betrachten die reelle Ebene $\mathbb R^2$. Die Länge eines Vektors $(a,b)\in \mathbb R^2$ ist durch die Formel des Pythagoras beschrieben $$\|(a,b)\|=\sqrt{a^2+b^2}.$$ Eine Drehung der Ebene um den Nullpunkt ist eine lineare Abbildung, die Längen von Vektoren erhält. Das Bild des Einheitsvektors $e_1=(1,0)$ unter einer Drehung ist also von der Form $(a,b)$ mit $a^2+b^2=1$. Die vom Nullpunkt ausgehenden Halbstrahlen durch die Punkte $(1,0)$ und $(a,b)$ bilden einen Winkel $\theta$. In der Mathematik ist es üblich, solche Winkel statt in Grad, Minuten und Sekunden in Bogenlänge zu beschreiben. Der Vollkreis entspricht also nicht dem Winkel $360^°$, sondern dem Kreisumfang $2\pi$ des Einheitskreises. Der Winkel $\theta$ ist die Länge des Bogens auf dem Einheitskreis zwischen den Punkten $(1,0)$ und $(a,b)$, gemessen in mathematisch positivem Sinne, also gegen den Uhrzeigersinn.
Die trigonometrischen Funktionen Cosinus und Sinus sind für reelle Zahlen $\theta\in \mathbb R$ definiert. Bezeichnet $D_\theta$ die Drehung der Ebene um den Nullpunkt um den Winkel mit Bogenlänge $\theta$, so sind $\cos\theta$ und $\sin\theta$ die Koordinaten des Bildes des Einheitsvektors $e_1$, $$D_\theta(e_1)=\cos\theta\cdot e_1 +\sin\theta\cdot e_2.$$
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Aus der Definition der trigonometrischen Funktionen folgt sofort \begin{align*}\cos\theta&=\cos (-\theta)=\cos(\theta+2\pi)\\
\sin\theta&=-sin(-\theta)=\sin(\theta+2\pi)\\
1&=\cos^2\theta+\sin^2\theta.\end{align*} Das Bild des Einheitsvektors $e_2=(0,1)$ unter der Drehung $D_\theta$ ist von der Form $$D_\theta(e_2)=\cos\theta\cdot e_2 -\sin\theta\cdot e_1.$$ Da die Einheitsvektoren $e_1,e_2$ eine Basis von $\mathbb R^2$ aufspannen, ist die lineare Abbildung $D_\theta$ vollständig durch die Bilder dieser Basisvektoren bestimmt. Das Bild eines allgemeinen Vektors $(r_1,r_2)\in\mathbb R^2$ in der Ebene ist aufgrund der Linearität von der Form $$D_\theta(r_1e_1+r_2e_2)=(r_1\cos\theta-r_2\sin\theta)e_1+(r_1\sin\theta+r_2\cos\theta)e_2.$$
Additionstheoreme für Sinus und Cosinus.
- $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$
- $\sin(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\sin(\beta)+\sin(\alpha)\cos(\beta)$
Beweis. Die Komposition $D_\alpha\circ D_\beta$ zweier Drehungen ist eine Drehung $D_{\alpha+\beta}$ um den Winkel $\alpha+\beta$. Die Additionstheoreme folgen daraus durch Koeffizientenvergleich \begin{align*} \cos(\alpha+\beta)e_1+\sin(\alpha+\beta)e_2&=D_{\alpha+\beta}(e_1)\\&=D_\alpha\left(D_\beta(e_1)\right)\\&=D_\alpha\left((\cos\beta )e_1+(\sin\beta)e_2\right)\\&=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)e_1+(\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta)e_2.\end{align*}qed
Eine Spiegelung entlang einer Geraden durch den Nullpunkt bildet die Gerade identisch auf sich ab. Die dazu senkrechte Gerade wird mit $-1$ multipliziert. Die Spiegelung entlang der Achse $\mathbb R\times\{0\}$ bildet $e_1$ auf sich ab und $e_2$ auf $-e_2$. Diese Spiegelung ist also beschrieben durch die lineare Abbildung $$S_0(r_1e_1+r_2e_2)=r_1e_1-r_2e_2.$$ Hat die Fixgerade einen Winkel $\theta$ zur Achse $\mathbb R\times\{0\}$, so können wir die Spiegelung $S_\theta$ auch beschreiben als Komposition $$S_\theta=D_\theta\circ S_0\circ D_{-\theta}.$$ Dies ist offensichtlich eine Spiegelung und sie bildet die Gerade mit Winkel $\theta$ identisch in sich ab. Insgesamt erhalten wir \begin{align*}
S_\theta(r_1e_1+r_2e_2)&=D_\theta\left(S_0\left( (r_1\cos\theta+r_2\sin\theta)e_1-(r_1\sin\theta-r_2\cos\theta)e_2\right)\right)\\
&=D_\theta\left((r_1\cos\theta+r_2\sin\theta)e_1+(r_1\sin\theta-r_2\cos\theta)e_2\right)\\
&=\left(r_1\cos(2\theta)+r_2\sin(2\theta)\right)e_1+\left(r_1\sin(2\theta)-r_2\cos(2\theta)\right)e_2.\end{align*}