Interessant am Fundamentalgruppenfunktor ist vor allem seine Berechenbarkeit. Diese fußt wesentlich auf der Berechnung der Fundamentalgruppe des Kreises und dem Satz von Seifert und van Kampen. Die Fundamentalgruppe des Kreises kennen wir im Prinzip bereits. Wir betrachten den Einheitskreis \(S^1\) als Untergruppe der komplexen Einheitengruppe \(\mathbb C^*\).
7.3.1. Satz. Die Gradabbildung \(\deg\colon \pi_1(S^1,1)\to \mathbb Z\) ist ein Isomorphismus.
Beweis. Ein Weg \(w\colon I\to S^1\) mit \(w(0)=w(1)=1\) faktorisiert über die Quotientenabbildung \(\exp\colon I\to S^1, t\mapsto \exp(2\pi it)\). Darauf können wir die Gradabbildung aus 7.1.11. anwenden. Ist \(\deg(w)=0\), so lässt sich \(w\) zu einem geschlossenen Weg \(\widetilde{w}\colon I\to \mathbb R\) in der punktierten Überlagerung \(\exp\colon (\mathbb R,0)\to (S^1,1)\) hochheben. Dieser geschlossene Weg ist homotop zum konstanten Weg vermittels der Homotopie \(\widetilde{w}_s\colon (s,t)\mapsto (1-s)\widetilde{w}(t)\).
qed
7.3.2. Satz. Es seien $j_0\colon X_0\to X$ und $j_1\colon X_1\to X$ die Einbettungsabbildungen von Teilmengen eines topologischen Raumes $X$ mit $X=\mathring{X}_0\cup\mathring{X}_1$, und es bezeichne $i_k\colon X_{01}=X_0\cap X_1\to X_k$ die Einbettungsabbildung des Durchschnitts für $k\in \{0,1\}$. Dann ist das Diagramm $$\begin{matrix} \Pi\left(X_{01}\right)&\xrightarrow{\Pi(i_0)}&\Pi\left(X_{0}\right)\\
\scriptsize{\Pi(i_1)}\big\downarrow\phantom{\Pi(i_1)}&&\phantom{\Pi(i_1)}\big\downarrow\scriptsize{\Pi(j_0)}\\
\Pi\left(X_{1}\right)&\xrightarrow[\Pi(j_1)]{}&\Pi\left(X\right)
\end{matrix}$$ ein Pushout-Diagramm in der Kategorie der Gruppoide.
Beweis. Es sei $\Lambda$ ein Gruppoid und $$\begin{matrix} \Pi\left(X_{0,1}\right)&\xrightarrow{\Pi(i_0)}&\Pi\left(X_{0}\right)\\
\scriptsize{\Pi(i_1)}\big\downarrow\phantom{\Pi(i_1)}&&\phantom{\Pi(i_1)}\big\downarrow\scriptsize{h_0}\\
\Pi\left(X_{1}\right)&\xrightarrow[h_1]{}&\Lambda
\end{matrix}$$ ein kommutierendes Diagramm von Funktoren. Zu zeigen ist, dass es einen eindeutig bestimmten Funktor $\lambda\colon \Pi(X)\to \Lambda$ gibt mit $h_k=\lambda\circ \Pi(j_k)$ für $k\in \{0,1\}$.
Zuerst zur Eindeutigkeit: Ist $w\colon I\to X$ ein Weg in $X$, so finden wir eine Zerlegung $$0=t_0\lt t_1\lt\ldots\lt t_{n-1}\lt t_n=1$$ des Intervalls $I$ derart, dass der Teilweg $w\left([t_{i-1},t_i]\right)$ jeweils ganz in einem der beiden offenen Teilmengen $\mathring{X}_k$ verläuft. Das heißt, wir können den Morphismus $[w]\in \mathrm{Mor}_{\Pi(X)}\left(w(0),w(1)\right)$ als Komposition von Morphismen $[w_i]=\left[w|_{[t_{i-1},t_i]}\right]$ darstellen, welche jeweils im Bild einer der Abbildungen $\Pi(j_k)$ liegen: $$[w_i]=\Pi\left(j_{k(i)}\right)\left([v_i]\right).$$ Für den Morphismus $[w]$ ist das Bild unter $\lambda$ durch die Bedingung $\lambda\circ \Pi(j_k)=h_k$ bestimmt: $$\lambda\left([w]\right)=\lambda\left([w_n]\right)\circ \lambda\left([w_{n-1}]\right)\circ\ldots\circ \lambda\left([w_1]\right)=h_{k(n)}\left([v_n]\right)\circ h_{k(n-1)}\left([v_{n-1}]\right)\circ\ldots \circ h_{k(n)}\left([v_1]\right).$$ Diese Gleichung zeigt die Eindeutigkeit von $\lambda$, und gibt außerdem eine Formel für die Definition des Funktors $\lambda$ auf den Morphismenmengen $\mathrm{Mor}_{\Pi(X)}(x,x')$ an. Auf den Objekten $\mathrm{Obj}_{\Pi(X)}=X$ ist der Funktor $\lambda$ wohldefiniert, da das Diagramm $$\begin{matrix} X_{01}&\xrightarrow{i_0}&X_{0}\\
\scriptsize{i_1}\big\downarrow\phantom{i_1}&&\phantom{i_1}\big\downarrow\scriptsize{j_0}\\
X_{1}&\xrightarrow[j_1]{}&X
\end{matrix}$$ ein Pushout-Diagramm in der Kategorie der topologischen Räume und der Kategorie der Mengen ist. Zu zeigen bleibt die Wohldefiniertheit von $\lambda$ auf den Morphismenmengen. Wir müssen also nacheinander alle Wahlen, die in die oben angegebene Formel für $\lambda\left([w]\right)$ eingehen, betrachten.
Die erste Wahl ist die der Unterteilungspunkte. Zu jeder anderen Unterteilung gibt es eine gemeinsame Verfeinerung mit der von uns gewählten Unterteilung. Da $h_0$ und $h_1$ als Funktoren die Assoziativität der Komposition von Morphismen respektieren, erhalten wir bei einer Verfeinerung der gewählten Unterteilung des Intervalls das gleiche Resultat.
Eine zweite Wahl treffen wir, wenn wir einem Teilweg $w_i$ die Teilmenge $X_{k(i)}$ zuordnen, in welcher der Teilweg verläuft. Sollte es hier zwei Wahlen geben, so verläuft der Weg tatsächlich im Durchschnitt $X_{01}$ der beiden Teilmengen. Da wir von einem kommutierenden Diagramm von Funktoren ausgehen, ist es in diesem Falle gleichgültig, welche Wahl wir treffen.
Zuletzt haben wir einen Weg in einer Homotopieklasse ausgewählt. Ist nun eine Homotopie $$H\colon I\times I\to X$$ zweier Wege von $x$ nach $x'$ gegeben, so finden wir Zerlegungen $$0=s_0\lt s_1\lt\ldots\lt s_{m-1}\lt s_m=1\quad\text{ und }\quad 0=t_0\lt t_1\lt\ldots\lt t_{n-1}\lt t_n=1$$ der beiden Intervalle derart, dass das Bild von $H$ auf jedem Produktintervall $[s_{i-1},s_i]\times[t_{j-1},t_j]$ in einem der beiden offenen Teilmengen $\mathring{X}_k$ liegt. Die beiden homotopen Wege in $X$ werden beschrieben durch die Einschränkung von $H$ auf jeweils einen Kantenweg von dem Punkt $(0,0)$ zum Punkt $(1,1)$ in $I\times I$. Die Zerlegung der beiden Intervalle beschreibt ein Gitter in $I\times I$. Jeder Weg von $(0,0)$ nach $(1,1)$ entlang der Kanten dieses Gitters beschreibt eine Komposition von Wegen, die jeweils in einem der beiden Teilmengen $X_k$ verlaufen und die Einschränkung von $H$ auf $[s_{i-1},s_i]\times[t_{j-1},t_j]$ beschreibt eine Homotopie zwischen den beiden Kantenwegen von $(s_{i-1},t_{j-1})$ nach $(s_i,t_j)$, welche nur in $X_k$ verläuft. Dies zeigt, dass die Homotopieklassen der Wege in $X$ nur von den Homotopieklassen der Teilwege abhängen, die wir bei der Zerlegung der Intervalle erhalten.
qed
Als Korollar erhalten wir:
7.3.3. Satz von Seifert und van Kampen. Es seien $X_0, X_1$ und $X_{01}=X_0\cap X_1$ jeweils wegzusammenhängende Teilmengen eines topologischen Raumes $X$ mit $X=\mathring{X}_0\cup\mathring{X}_1$, und es sei $x\in X_{01}$. Dann ist das Diagramm $$\begin{matrix} \pi_1\left(X_{01},x\right)&\xrightarrow{\pi_1(i_0)}&\pi_1\left(X_{0},x\right)\\
\scriptsize{\pi_1(i_1)}\big\downarrow\phantom{\pi_1(i_1)}&&\phantom{\pi_1(i_1)}\big\downarrow\scriptsize{\pi_1(j_0)}\\
\pi_1\left(X_{1},x\right)&\xrightarrow[\pi_1(j_1)]{}&\pi_1\left(X,x\right)
\end{matrix}$$ ein Pushout-Diagramm in der Kategorie der Gruppen.
Beweis. Eine Gruppe kann betrachtet werden als ein Gruppoid mit nur einem einzigen Objekt. Für jeden Punkt $y\in X$ wählen wir einen Morphismus $u_y\in \mathrm{Mor}_{\Pi(Y)}(y,x)$, falls $y\in Y$ mit $Y\in \{X_0, X_1,X_{01}\}$, und $u_x=\mathrm{id}$. Gegeben eine solche Wahl, definieren wir für jedes der Gruppoide $\Pi(Y)$ einen Funktor $r\colon \Pi(Y)\to \pi_1(Y,x)$ von Gruppoiden, indem wir einem Morphismus $\alpha\colon y\to y'$ in $\Pi(Y)$ den Morphismus $u_{y'}\circ \alpha\circ u_y^{-1}$ zuordnen. Wir erhalten ein kommutatives Diagramm von Funktoren $$\begin{matrix} \Pi\left(X_{0}\right)&\leftarrow&\Pi\left(X_{01}\right)&\rightarrow& \Pi\left(X_{1}\right)\\
\phantom{\scriptsize{r_0}}\big\downarrow\scriptsize{r_0}&&\phantom{r_{01}}\big\downarrow\scriptsize{r_{01}}&&\phantom{r_{1}}\big\downarrow\scriptsize{r_{1}}\\
\pi_1\left(X_{0},x\right)&\leftarrow&\pi_1\left(X_{01},x\right)&\rightarrow& \pi_1\left(X_{1},x\right).
\end{matrix}$$ Die Funktoren $r$ sind Linksinverse des Inklusionsfunktors der Untergruppoide $\pi_1(Y,x)\to \Pi(Y)$. Geben wir uns ein kommutierendes Diagramm von Gruppenhomomorphismen $$\begin{matrix} \pi_1\left(X_{01},x\right)&\xrightarrow{\pi_1(i_0)}&\pi_1\left(X_{0},x\right)\\
\scriptsize{\pi_1(i_1)}\big\downarrow\phantom{\phi_1(i_1)}&&\phantom{\pi_1(i_1)}\big\downarrow\scriptsize{\phi_0)}\\
\pi_1\left(X_{1},x\right)&\xrightarrow[\phi_1]{}&G
\end{matrix}$$ vor, so liefert die Komposition mit den Abbildungen $r$ ein kommutierendes Diagramm von Funktoren zwischen Gruppoiden, und nach dem obigen Satz folglich einen eindeutig bestimmten Funktor $\Pi(X)\to G$. Die Einschränkung dieses Funktors auf den Retrakt $\pi_1(X,x)=\mathrm{Mor}_{\Pi(X)}(x,x)$ ist die eindeutige Lösung des gegebenen Pushout-Problems.
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