Die räumliche Fläche $S$ werde lokal im Punkte $s=(x_0,y_0)\in T_sS\times N_sS=\mathbb R^3$ als Graph einer Funktion $f\colon U\to V$ für offene Umgebungen $U$ und $V$ von $x_0$ in $T_sS$ und $y_0$ in $N_sS$ beschrieben.
8.2.1. Definition. Die Gaußsche Krümmung $K(s)$ der Fläche $S$ im Punkte $s$ ist die Determinante der Hesseschen Matrix $K(s):=\det\left(H(x_0)\right)$, also der zweiten Ableitung $$H(x_0):=\partial^2{f}(x_0)=\left(\begin{matrix}f_{11}&f_{12}\\f_{21}&f_{22}\end{matrix}\right)(x_0)$$ der Funktion $f$ im vorgegebenen Punkt. Die beiden Eigenwerte $k_1$ und $k_2$ der symmetrischen Matrix $H(x_0)$ werden die Hauptkrümmungen genannt.
Identifizieren wir Tangentialraum und Normalraum im Punkte $s$ mit $\mathbb R^2$ und $\mathbb R$, so besitzt $f$ im Punkte $x_0$ eine Taylorentwicklung der Form $$f\left(x_0+u\right)=f_0+\tfrac12 u^t \cdot H(x_0)\cdot u+\mathcal{O}\left(\|u\|^{3}\right)$$ für $u=(u^1,u^2)\in \mathbb R^2$. Hier benutzen wir die Abkürzung $$f_{ij}:=\tfrac{\partial^2f}{\partial u^i\partial u^j}$$ für die zweiten partiellen Ableitungen. Die Hessesche Matrix ist symmetrisch. Nach dem Satz über die Hauptachsentransformation aus der linearen Algebra kann sie mit Hilfe einer orthogonalen Matrix diagonalisiert werden. Wählen wir zur Identifikation von $T_sS$ mit $\mathbb R^2$ eine Basis von $T_sS$ bestehend aus orthonormierten Eigenvektoren der Hesseschen, so ist die Hessesche bezüglich der neuen Koordinaten $v=(v^1,v^2)\in \mathbb R^2$ diagonal und Funktion $f$ von der Form $$f\left(x_0+(v^1,v^2)\right)= y_0+\tfrac12\left(k_1(v^1)^2+k_2(v^2)^2\right)+ O\left(\|(v^1,v^2)\|^3\right).$$ Ist $e\in T_sS$ ein normierter Eigenvektor der Länge $1$ zum Eigenwert $k_i$ der zweiten Ableitung, so erhalten wir mit der Vorschrift $t\mapsto\left(x_0+te,f\left(x_0+te\right)\right)$ eine auf der Fläche $\Gamma_{f}$ verlaufende Kurve $C_{e}$. Die Krümmung dieser Kurve im Punkt $s$ ist dann gleich $|k_{i}|$.
8.2.2. Bemerkung. Wählen wir verschiedene Orientierungen des Normalraums $N_sS$, also verschiedene Identifizierungen mit $\mathbb R$, ändern die Hauptkrümmungen der Fläche ihr Vorzeichen. Die Gaußsche Krümmung $K(s)=k_1\cdot k_2$ ändert ihr Vorzeichen nicht.