In diesem Abschnitt betrachten wir gewöhnliche Homologie- und Kohomologietheorien mit Koeffizienten im Ring $R$. Ziel ist der Beweis des Satzes über die
3.0.1. Poincaré Dualität. Das Cap-Produkt liefert für eine geschlossene Mannigfaltigkeit $M$ mit Orientierungsklasse $\mu_M\in H_d(M;R)$ für jedes $k$ einen Isomorpismus $$-\cap\mu_M\colon H^k(M;R)\to H_{d-k}(M;R),\quad \phi\mapsto \phi\cap\mu_M.$$
Mit anderen Worten ist die Homologie $H_*(M;R)$ bezüglich des Cap-Produkts ein freier $H^*(M;R)$-Modul vom Rang $1$ mit der Orientierungsklasse $\mu_M$ als Erzeuger. Bevor wir uns an den Beweis dieses wichtigen Satzes machen, müssen wir einige der im Satz auftretenden Begriffe klären.