3.1.1. Definition. Es sei $M$ eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension $\dim(M)=d$. Eine punktweise $R$-Orientierung im Punkte $m\in M$ besteht aus der Festlegung eines Erzeugers $$\mu_m\in H_d(M,M\setminus\{m\};R)\cong R$$ Ist $R=\mathbb Z$, so spricht man von einer punktweisen Orientierung.
Ordnet man jedem offenen Ball $B\subset M$ die Menge \[
\left\{\mu_B\in H_d(M,M\setminus B;R)\cong R \mid \mu_B \text{ ist Erzeuger}\right\}\] zu, so beschreibt dies eine lokal triviale Prägarbe. Den étale Raum \(M^{or(R)}\to M\) der davon erzeugten lokal trivialen Garbe nennt man \(R\)-Orientierungsüberlagerung von \(M\).
3.1.2. Definition. Eine $R$-Orientierung einer Mannigfaltigkeit $M$ ist ein Schnitt der Orientierungsüberlagerung \(M^{or(R)}\to M\).
Eine $R$-Orientierung einer Mannigfaltigkeit $M$ lässt sich also beschreiben als eine Zuordnung, welche jedem $m\in M$ eine punktweise Orientierung $\mu_m\in H_d(M,M\setminus \{m\};R)$ in stetiger Weise zuordnet, d.h. für jedes $m\in M$ existiert eine offene Umgebung $U\subset M$, sowie ein Element $\mu_U\in H_d(M,M\setminus U;R)$ derart, dass für alle $m'\in U$ gilt $\mu_{m'}=\rho_{U,m'}\left(\mu_U\right),$ wo \[\rho_{U,m'}\colon H_d(M,M\setminus U;R)\to H_d(M,M\setminus \{m'\};R)\] die von der Inklusion $M\setminus U\hookrightarrow M\setminus \{m'\}$ induzierte Restriktionsabbildung bezeichnet.
3.1.3. Beispiele.
- Ist $R=\mathbb Z$, so gibt es über jedem Punkt $m\in M$ zwei Erzeuger der Gruppe $H_d(M,M\setminus \{m\};\mathbb Z)$. Die 2-blättrige Orientierungsüberlagerung $M^{or}:=M^{or(\mathbb Z)} \to M$ ist genau dann trivial, wenn sie einen Schnitt besitzt. Ist die Orientierungsüberlagerung nicht trivial, so ist die Mannigfaltigkeit nicht orientierbar. Ist zum Beispiel $M^{or}$, und damit auch $M$, zusammenhängend, so kann $M$ keine Orientierung besitzen. Man sagt, $M$ sei nicht orientierbar. Aus der Überlagerungstheorie wissen wir, dass dann die Fundamentalgruppe $\pi_1(M^{or})$ eine Untergruppe von $\pi_1(M)$ vom Index $2$ ist. Insbesondere sind alle einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten orientierbar.
- Ist $R=\mathbb F_2$, so gibt es über jedem Punkt $m$ genau einen Erzeuger $\mu_m\in H_d\left(M,M\setminus\{m\};\mathbb F_2\right)$. Die Orientierungsüberlagerung ist in diesem Falle einblättrig. Jede Mannigfaltigkeit besitzt also immer eine eindeutige $\mathbb F_2$-Orientierung.
- Der euklidische Raum \(\mathbb R^d\) und die Sphäre \(S^d\) (für \(d\gt 1\)) sind beide einfach zusammenhängend, besitzen also jeweils zwei Orientierungen.
- Für \(d\gt1\) besitzt der projektive Raum \(\mathbb RP^d\) die Sphäre \(S^d\) als nicht-triviale Überlagerung. Aus der Berechnung der Homologie (in den Übungen) wissen wir \[ H_d(\mathbb RP^d;\mathbb Z)\cong \begin{cases}\mathbb Z&\text{ falls } d \text{ ungerade}\\ 0 &\text{ falls } d \text{ gerade.}\end{cases}\] Ist \(d\) ungerade, so liefert die Wahl eines Erzeugers \(\mu\in H_d(\mathbb RP^d;\mathbb Z)\) eine Orientierung des projektiven Raumes, da die Restriktionsabbildung \[H_d(\mathbb RP^d;\mathbb Z)\to
H_d(\mathbb RP^d,\mathbb RP^d\setminus \{m\};\mathbb Z)\] für jeden Punkt \(m\in \mathbb RP^d\) ein Isomorphismus ist. Gerade dimensionale reell projektive Räume sind nicht orientierbar, die Orientierungsüberlagerung ist nicht trivial. Dies wird aus Satz 3.1.6 unten.
Im Folgenden benutzen wir wiederholt eine Mayer-Vietoris Sequenz.
3.1.4. Lemma. Sind \(K_1,K_2\subset M\) kompakte Teilräume, so ist die Sequenz $$\begin{multline*}
\ldots\to H_{i+1}\left(M,M\setminus(K_1\cap K_2)\right)\xrightarrow{\delta}H_i(M,M\setminus (K_1\cup K_2))\xrightarrow{s}\\ H_i(M,M\setminus K_1)\oplus H_i(M,M\setminus K_2)
\xrightarrow{t} H_{i}\left(M,M\setminus(K_1\cap K_2)\right)\to \ldots\end{multline*}$$ lang exakt. Hier bezeichnen $s$ und \(t\) Summe und Differenz der beiden jeweiligen Restriktionsabbildungen.
Beweis. Es bezeichne \(\mathfrak U=\{A,B\}\) mit \(A=M\setminus K_1\) und \(B=M\setminus K_2\) die offene Überdeckung des Unterraums \(A\cup B=M\setminus (K_1\cap K_2)\). Summe und Differenz der jeweiligen Inklusionsabbildungen liefern eine Inklusion von kurzen exakten Sequenzen $$\begin{matrix}
0& \to &C_*(A\cap B)&\to &C_*(A)\oplus C_*(B)&\to&C_*^{\mathfrak U}(A\cup B)&\to &0\\
& &\downarrow & &\downarrow& &\downarrow& &\\
0& \to &C_*(M)&\to &C_*(M)\oplus C_*(M)&\to&C_*(M)&\to &0
\end{matrix}$$ Hier bezeichnet $C_*^{\mathfrak U}(A\cup B)$ den Kettenkomplex der \(\mathfrak U\)-kleinen Ketten. Als Quotient dieser Inklusion von Kettenkomplexen erhalten wir eine kurze exakte Sequenz $$\begin{matrix}
0& \to &C_*(M,A\cap B)&\to &C_*(M,A)\oplus C_*(M,B)&\to&C_*(M)/C_*^{\mathfrak U}(A\cup B)&\to &0.
\end{matrix}$$ Der Kettenkomplex der \(\mathfrak U\)-kleinen Ketten ist homotopieäquivalent zum Kettenkomplex $C_*(A\cup B)$. Die behauptete Mayer-Vietoris Sequenz ist folglich die lange exakte Homologiesequenz zu dieser kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen.
qed
3.1.5. Lemma. Es sei $K\subset M$ kompakt. Die Homologie $H_i(M,M\setminus K;R)$ verschwindet für $i\gt d$. Eine Homologieklasse $\alpha\in H_d(M,M\setminus K;R)$ verschwindet genau dann, wenn die Restriktion $$\rho_{K,m}\left(\alpha\right)\in H_d(M,M\setminus \{m\};R)$$ für jedes $m\in K$ null ist.
Beweis. Es gibt sechs Schritte im Beweis.
- Es sei $M=\mathbb R^d$ und $K$ konvex. Ist $m\in K$ und $S$ eine große $(d-1)$-dimensionale Sphäre mit Mittelpunkt $m$, welcher $K$ enthält. Dann ist $S$ ein Deformationsretrakt sowohl von $\mathbb R^d\setminus\{m\}$, wie auch von $\mathbb R^d\setminus K$. Insbesondere ist in diesem Fall die Restriktionsabbildung $$
H_i(\mathbb R^d,\mathbb R^d\setminus K)\to H_i(\mathbb R^d,\mathbb R^d\setminus \{m\})$$ ein Isormorphismus für alle i. - Es sei $K=K_1\cup K_2$ und die Aussage des Lemmas sei bewiesen für $K_1$, $K_2$ und für $K_1\cap K_2$. Aus der Mayer-Vietoris Sequenz $$
\ldots\to H_{i+1}\left(M,M\setminus(K_1\cap K_2)\right)\xrightarrow{\delta}H_i(M,M\setminus (K_1\cup K_2))\xrightarrow{s}H_i(M,M\setminus K_1)\oplus H_i(M,M\setminus K_2)\to \ldots$$ mit $s(\alpha)=\rho_{K_1}(\alpha)\oplus \rho_{K_2}(\alpha)$ folgt die Behauptung für $K$. - Es sei $K\subset \mathbb R^d$ eine endliche Vereinigung von konvexen Kompakta. Der zweite Fall liefert dann den Induktionsschritt bei der Induktion über die Anzahl der vereinigten Kompakta.
- Es sei $K\subset \mathbb R^d$ beliebig kompakt. Für $\alpha\in H_i(\mathbb R^d,\mathbb R^d\setminus K)$ lässt sich eine kompakte Umgebung $N$ von $K$ und ein Elemen $\alpha'\in H_i(\mathbb R^d,\mathbb R^d\setminus N)$ finden mit $\rho_{N,K}(\alpha')=\alpha$. Dazu wählen wir uns einen Zykel $\gamma\in C^{sing}_i(\mathbb R^d)$, dessen Bild in $C^{sing}_i(\mathbb R^d)/C^{sing}_i(\mathbb R^d\setminus K)$ den Zykel $\alpha$ repräsentiert. Wegen $\partial \alpha=0$ gilt $\partial \gamma\in C^{sing}_i(\mathbb R^d\setminus K)$. Dieser Rand $\partial \gamma$ ist eine endliche Linearkombination von singulären Simplizes $\sigma\colon \Delta_{i-1}\to \mathbb R^d\setminus K$. Der Träger dieser Simplizes, d.h. das Bild dieser endlich vielen Abbildungen ist kompakt und disjunkt zu $K$. Man muss $N$ nur klein genug machen, damit $N$ disjunkt von diesem Träger bleibt.
Wir können nun $K$ mit endlich vielen abgeschlossenen Bällen $B_j$ überdecken, so dass gilt $B_j\subset N$ und $B_j\cap K\not=\emptyset$. Ist $i\gt d$, so ist $\rho_{N,\cup_j B_j}(\alpha')=0$ nach Schritt 3 und folglich gilt auch $\alpha=0$. Ist $i=d$ und $\rho_{K,m}(\alpha)=0$ für jedes $m\in K$, so gilt auch $\rho_{N,m}(\alpha')=0$ für jedes $m\in K$. Nach Fall 1 gilt aber auch $\rho_{B_j,m}(\alpha')=0$ für jedes $m\in B_j$ und damit für jedes $m\in \cup_j B_j$. Aus Fall 3 folgt $\rho_{N,\cup_j B_j}(\alpha')=0$ und damit $\alpha=0$. - Es sei $K\subset M$ in einer Kartenumgebung $U$. Wegen Ausschneidung $$H_i(M,M\setminus K)\cong H_i(U,U\setminus K)$$ folgt die Behauptung aus dem 4. Fall.
- Ist $K\subset M$ beliebig kompakt, so lässt es sich als Vereinigung endliche vieler, in Kartenumgebungen passender Kompakta darstellen. Wieder folgt die Behauptung durch Induktion über die Anzahl der kleinen Kompakta aus Fall 5 mit Fall 2 als Induktionsschritt.
qed
3.1.6. Satz. Ist $M$ eine $R$-orientierte Mannigfaltigkeit und $K\subset M$ kompakt, so existiert eine eindeutig bestimmte Homologieklasse $\mu_K\in H_d(M,M\setminus K;R)$ mit $\rho_{K,m}\left(\mu_K\right)=\mu_m$ für alle $m\in K$. Ist $M$ kompakt, so existiert insbesondere eine eindeutig bestimmte Klasse $\mu_M\in H_d(M;R)$ mit dieser Eigenschaft.
Man nennt die Klasse $\mu_M$ die fundamentale Homologieklasse oder auch Orientierungsklasse der orientierten Mannigfaltigkeit $M$.
Beweis. Die Eindeutigkeit folgt aus Lemma 3.1.5. Zur Existenz benötigen wir drei Schritte.
- Ist $K$ in einer genügend kleinen Umgebung eines gegebenen Punktes enthalten, so folgt die Existenz von $\mu_K$ aus der Definition der Orientierung.
- Es sei $K=K_1\cup K_2$ und $\mu_{K_1}$ und $\mu_{K_2}$ existieren. Wir betrachten wieder die Mayer-Vietoris Sequenz $$
0\to H_d(M,M\setminus K)\xrightarrow{s}H_d(M,M\setminus K_1)\oplus H_d(M,M\setminus K_2)\xrightarrow{t} H_{d}\left(M,M\setminus(K_1\cap K_2)\right)\to\ldots $$ mit $$\begin{aligned}s(\alpha)&=\rho_{K,K_1}(\alpha)\oplus \rho_{K,K_2}(\alpha)\\
t(\beta\oplus \gamma)&=\rho_{K_1,K_1\cap K_2}(\beta)-\rho_{K_2,K_1\cap K_2}(\gamma).\end{aligned}$$ Wegen der Eindeutigkeit von $\mu_{K_1\cap K_2}$ ist $t\left(\mu_{K_1}\oplus\mu_{K_2}\right)=0$. Wegen der Exaktheit der Sequenz gibt es ein eindeutig bestimmtes Element in $H_d(M,M\setminus K)$, das durch $s$ auf $\mu_{K_1}\oplus \mu_{K_2}$ abgebildet wird. Dies Element ist das gesuchte $\mu_K$. - Es sei $K\subset \mathbb R^d$ eine endliche Vereinigung von konvexen Kompakta. Der zweite Fall liefert dann den Induktionsschritt bei der Induktion über die Anzahl der vereinigten Kompakta.
- Ist $K\subset M$ beliebig kompakt, so lässt es sich als Vereinigung endliche vieler genügend kleiner Kompakta aus Fall 1 darstellen. Wieder folgt die Behauptung durch Induktion über die Anzahl der kleinen Kompakta mit Fall 2 als Induktionsschritt.
qed