2. Kohomologie

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und $R$-$MOD$ die Kategorie von $R$-Moduln. Der Funktor $$\kappa\colon TOP(2)\to TOP(2)$$ schickt das Paar $(X,A)$ auf $(A,\emptyset)$.

2.0.1. Kohomologie-Axiome von Eilenberg-Steenrod. Eine Kohomologietheorie für Raumpaare besteht aus einer Familie $(h^n\mid n\in\mathbb Z)$ kontravarianter Funktoren $h^n\colon TOP(2)\to R$-$MOD$, sowie einer Familie $(\delta^n\mid n\in\mathbb Z)$ natürlicher Transformationen $\delta^n\colon h^n\circ \kappa\to h^{n+1}$, welche folgende Eigenschaften erfüllen:

1. Homotopie-Invarianz: Sind $f_0$ und $f_1$ homotope Abbildungen in $TOP(2)$, so gilt $h^n\left(f_0\right)=h^n\left(f_1\right)$ für alle $n\in \mathbb Z$.
2. Exakte Kohomologie-Sequenz: Für jedes Raumpaar $(X,A)$ ist die Sequenz $$
   \ldots \to h^{n+1}(X,A) \xleftarrow{\delta^{n}} h^n(A)\leftarrow h^n(X)\leftarrow h^n(X,A)\xleftarrow{\delta^{n-1}}\ldots
   $$ exakt. Die nicht gekennzeichneten Abbildungen sind jeweils durch die Inklusionen induziert.
3. Ausschneidung: Ist $(X,A)$ ein Raumpaar und ein Unterraum $B\subset A$ gegeben mit $\overline{B}\subset \mathring{A}$, so induziert die Inklusionsabbildung einen Isomorphismus $$h^n(X\setminus B,A\setminus B)\xleftarrow{\cong}h^n(X,A).$$

Déjà vu? Tatsächlich, bis auf die Richtung der Pfeile sind diese Axiome identisch mit den Axiomen einer Homologietheorie. Und auch die folgenden Notationen dürften vertraut sein: Den $R$-Modul $h^n(X,A)$ nennt man die $n$-te Kohomologie des Paares $(X,A)$. Die Homomorphismen $\delta=\delta^n$ heißen Differentiale oder Korand-Operatoren. Für die durch Abbildungen $f$ induzierten Morphismen $h^n(f)$ hat sich die Abkürzung $f^*$ eingebürgert. Bezeichnet $P$ einen einpunktigen Raum, so nennt man die $R$-Moduln $h^n(P)$ die Koeffizienten der Kohomologietheorie.

2.0.2. Definition. Die Kohomologie-Theorie $(h^n,\delta^n\mid n\in \mathbb Z)$ heißt gewöhnlich oder klassisch, wenn sie das Dimensionsaxiom erfüllt: Für die Koeffizienten der Kohomologietheorie gilt $h^n(P)=0$ für $n\not=0$.

2.0.3. Definition. Die Kohomologie-Theorie $(h^n,\delta^n\mid n\in \mathbb Z)$ heißt additiv, wenn gilt: Ist $(X_j,A_j), j\in J$ eine Familie von Raumpaaren und bezeichnet $$i_j\colon (X_j,A_j)\to \left(\sqcup_jX_j,\sqcup_j A_j\right)$$ die kanonische Inklusion in die topologische Summe, so sind die Abbildungen $$h^n\left(\sqcup_j X_j,\sqcup_jA_j\right)\to \prod_{j\in J} h^n\left(X_j,A_j\right) ,\quad m\mapsto \left(h^n\left(i_j\right)(m)\right)_{j\in J}$$ jeweils Isomorphismen.

Das obige Additivitätsaxiom ist nur bei unendlichen topologischen Summen relevant. Zweifel, ob dieses zur Homologie offenbar duale Konzept tatsächlich einen Mehrwert bringt, werden bald ausgemerzt.