Definition. Vier paarweise verschiedene Punkte $ABCD$ der Ebene, von denen keine drei auf einer Geraden liegen, bilden ein Viereck, wenn die Strecken $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ und $\overline{DA}$ in dieser Reihenfolge einen Streckenzug ohne Überschneidungen bilden.
Die Bedingung, dass es keine Überschneidungen gibt, bedeutet dass jede der vier Strecken mit den jeweils übrigen drei Strecken einzig Endpunkte gemeinsam hat.
Die Strecken $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$ nennt man die Diagonalen des Vierecks. Mindestens eine der folgenden beiden Möglichkeiten liegt stets vor:
- Die Gerade $BD$ schneidet die Strecke $\overline{AC}$.
- Die Gerade $AC$ schneidet die Strecke $\overline{BD}$.
In der Tat: Angenommen die Strecke $\overline{BD}$ schneidet die Gerade $AC$ nicht. Dann liegen $B$ und $D$ auf der gleichen Seite der Geraden $AC$. Da es keine Überschneidungen der Strecken gibt, muss eins der Dreiecke $ACB$ und $ACD$ innerhalb des anderen liegen. Angenommen $B$ liegt innerhalb von $ACD$. Dann muss die Verbindungsgerade $BD$ durch das Innere des Dreiecks $ACD$ gehen und daher die gegenüberliegende Seite $\overline{AC}$ treffen. Folglich liegt dann der erste Fall vor.
Insbesondere liegen dann die beiden Dreiecke $ABD$ und $CBD$ auf verschiedenen Seiten der Gerade $BD$ und das Viereck ist die Vereinigung dieser beiden Dreiecke. Die Diagonale $BD$ liegt dann ganz innerhalb des Vierecks.
Man erhält, dass stets mindestens eine der Diagonalen ganz innerhalb des Vierecks liegt.
Definition. Es sei $\mathcal{F}$ eine Figur, also eine Teilmenge der Ebene. Eine Symmetrie von $\mathcal{F}$ ist eine Isometrie $\sigma:\mathbb{E}\to\mathbb{E}$, welche die Figur in sich überführt, also $\sigma (\mathcal{F})=\mathcal{F}$.