Definition Zwei Dreiecke $ABC$ und $A'B'C'$ heißen ähnlich, wenn ihre geometrischen Winkel gleich sind, d.h.
$$
\angle ABC = \angle A'B'C', \quad \angle BCA = \angle B'C'A', \quad
\angle CAB = \angle C'A'B'.
$$
Proposition Sind zwei Dreiecke $ABC$ und $A'B'C'$ ähnlich, so sind ihre Seitenverhältnisse gleich:
\begin{equation}
\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|A'B'|}{|A'C'|},\;\;\;
\frac{|BC|}{|BA|} = \frac{|B'C'|}{|B'A'|},\;\;\;
\frac{|CB|}{|CA|} = \frac{ |C'B'|}{|C'A'|}.
\end{equation} Sind umgekehrt die Seitenverhältnisse gleich so sind die Dreiecke ähnlich.
Beweis. Wir nehmen zunächst an, die Dreiecke seien ähnlich. Wir tragen auf der Gerade $A'B'$ von $A'$ aus eine Strecke $A'B''$ ab, und zwar so, dass $|A'B''| = |AB|$ und so dass $B'$ und $B''$ auf der gleichen Seite des Punktes $A'$ liegen. Wir zeichnen durch $B''$ eine Parallele zu der Geraden $B'C'$. Diese Parallele möge die Gerade $A'C'$ in dem Punkt $C''$ treffen. Da Winkel an geschnittenen Parallelen gleich sind, sieht man sofort, dass die Dreiecke $A'B''C''$ und $A'B'C'$ ähnlich sind. Damit haben die Dreiecke $ABC$ und $A'B''C''$ gleiche Winkel und es gilt $|A'B''| = |AB|$. Diese Dreiecke sind daher kongruent. Nach dem zweiten Strahlensatz gilt:
$$
\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|A'B''|}{|A'C''|} = \frac{|A'B'|}{|A'C'|}
$$ Damit ist die erste behauptete Gleichung bewiesen. Die übrigen Gleichungen folgen auf die gleichen Weise.
Zum Beweis der Umkehrung zeichnet man ein Dreieck $A''B''C''$ , das zu $A'B'C'$ ähnlich ist und so dass $\overline{AB}=\overline{A''B''}$ gilt. Dann haben die Dreiecke $A''B''C''$ und $A'B'C'$ nach dem ersten Teil des Beweises die gleichen Seitenverhältnisse. Damit haben auch die Dreiecke $A''B''C''$ und $ABC$ die gleichen Seitenverhältnisse. Da diese Dreiecke zudem eine Seite gemeinsam haben, müssen alle Seiten gleich lang sein. Also sind die Dreiecke $A''B''C''$ und $ABC$ kongruent. Sie stimmen also auch in ihren Winkeln überein. Da die Winkel von $A''B''C''$ und $A'B'C'$ nach Konstruktion übereinstimmen, folgt, dass auch die Dreiecke $ABC$ und $A'B'C'$ die gleichen Winkel haben.
qed.