Der Fundamentalsatz der Algebra wurde im Verlauf der Vorlesung mehrfach erwähnt.
8.1.1. Fundamentalsatz der Algebra. Jedes nicht konstante, komplexe Polynom hat im Körper $\mathbb C$ wenigstens eine Nullstelle.
In der Algebra nennt man einen Körper $K$ algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nicht konstante Polynom in $K[X]\setminus K$ eine Nullstelle besitzt. Der Fundamentalsatz besagt also, dass der Körper $\mathbb C$ algebraisch abgeschlossen ist.
Der Beweis gliedert sich in zwei Teile. Wir fixieren ein Polynom \[P(X)=\sum_{k=0}^Na_kX^k\in \mathbb C[X]\] mit $N\ge 1$ und $a_N\not= 0$. Im ersten Teil des Beweises zeigen wir, dass das Infimum des Betrags der Funktionswerte tatsächlich angenommen wird: Es gibt ein $c\in \mathbb C$ mit $$\vert P( c )\vert=\inf_{z\in \mathbb C}\vert P(z)\vert.$$ Im zweiten Teil des Beweises wird gezeigt: Ist $c\in \mathbb C$ und gilt $P( c)\not=0$, dann gibt es ein $c'\in \mathbb C$ mit $$\vert P( c')\vert\lt\vert P( c)\vert.$$ Somit muss das Infimum der Funktionsbeträge, die das Polynom annimmt, gleich Null sein. Der Fundamentsatz folgt nun, da dieses Infimum, wie im ersten Teil des Beweises gezeigt, tatsächlich angenommen wird.
Die Aussage im ersten Teil des Beweises gilt auch für reelle Polynome und der Beweis ist weitgehend identisch. Dagegen ist das im zweiten Teil beschriebene Phänomen spezifisch für die komplexen Zahlen. Wir wollen uns den Unterschied in einem typischen Beispiel klarmachen. Das reelle Polynom $1+X^{2n}$ nimmt das Infimum $1$ im Punkt $0\in \mathbb R$ an. Der Grund ist, dass die Funktion $X^{2n}$ als Werte nur Quadratzahlen annimmt. Und reelle Quadratzahlen sind, anders als komplexe Quadratzahlen, nie negativ.
Das komplexe Polynom $Q(X)=1+X^n$ nimmt im Punkt $0\in\mathbb C$ ebenfalls den Wert $1$ an. Jedoch finden sich in beliebig kleinen Umgebungen von $c=0$ komplexe Zahlen $c'$ finden mit $\vert Q(c' )\vert\lt \vert Q(c )\vert=1$. Zu gegebenem $\varepsilon \gt 0$ sei dazu $c'$ eine $n$-te Wurzel von $-\varepsilon$. Eine solche existiert zum Beispiel nach Korollar 2.2.22. Dann gilt $Q( c')=1+(c')^n \lt 1=Q( c).$
Genug der Vorrede. Es folgt der erste Schritt im Beweis.
8.1.2. Lemma. Zu jedem Polynom $P(X)=\sum_{k=0}^Na_kX^k\in \mathbb C[X]$ gibt es ein $c\in\mathbb C$ mit \[\vert P( c)\vert=\inf_{z\in \mathbb C}\vert P(z)\vert.\]
Beweis.Für konstante Polynome ist die Aussage offensichtlich. Wir können also $N\gt 0$ annehmen und $a_N\not=0$. Es sei \[r=1+\frac{\vert a_0\vert}{\vert a_N\vert}+\frac{\sum_{k=0}^{N-1}\vert a_k\vert}{\vert a_N\vert}.\] Ist $\vert z\vert\gt r$, so können wir den Funktionswert $\vert P(z)\vert$ nach unten abschätzen: \begin{aligned}
\vert P(z)\vert &\ge \left| a_Nz^N\right| -\left| \sum_{k=0}^{N-1}a_kz^k\right|
\ge\left( \left| a_Nz\right| - \sum_{k=0}^{N-1}\vert a_k\vert\right) \cdot \vert z\vert^{N-1}\\
& \gt \left|a_N\right|+\left|a_0\right|
\gt \left| P(0) \right|
\end{aligned} In die Nähe des Infimums kann $\left|P(z)\right|$ also nur kommen, falls $\left|z\right|\le r$ gilt. Auf dem Kompaktum $\{z\in \mathbb C\mid |z|\le r\}$ nimmt die stetige Funktion $z\mapsto |P(z)|$ das Minimum an.
qed
Der zweite Teil des Beweises benutzt einen Hilfssatz.
8.1.3. Lemma. Es seien $n\in \mathbb N$, $b\in\mathbb C^\ast$ und $Q\in \mathbb C[X]$ gegeben. Dann gibt es ein $u\in \mathbb C$ mit $$\left|1+b\cdot u^n+ Q( u)\cdot u^{n+1}\right|\lt 1.$$
Beweis. Sei $\omega$ eine $n$-te Wurzel von $-1/b$. Eine solche existiert nach 2.2.22. Das Polynom $Q(X)\cdot X$ ist stetig und nimmt für $X=0$ den Wert $0$ an. Es gibt also eine Güte $\delta>0$, so dass für komplexe Zahlen $z$ mit $\left|z\right|\lt \delta$ die Abschätzung $$\left|Q(z)\cdot z\right|\lt \frac{\left|b\right|}2$$ erfüllt wird. Wir wählen eine reelle Zahl $t$ mit $0\lt t\lt \frac\delta{\left|\omega\right|}$. Dann gelten für $u=t\omega$ die Gleichung $$u^n=\frac{-t^n}{b}$$ und die Ungleichung $$\left|Q( u)\cdot u^{n+1}\right|=\left|Q( u)\cdot u\cdot \frac{(-t^n)}{b}\right|\lt \frac{t^n}2$$ und folglich $$\left|1+b\cdot u^n+ Q( u)\cdot u^{n+1}\right|\lt 1-\frac{t^n}2\lt 1.
$$qed
Der Beweis des Fundamentalsatzes wird abgeschlossen mit dem bereits avisierten Hilfssatz:
8.1.4. Lemma. Es sei $P\in \mathbb C[X]\setminus \mathbb C$ ein nicht konstantes komplexes Polynom. Ist $c\in \mathbb C$ und gilt $P( c)\not=0$, dann gibt es ein $c'\in \mathbb C$ mit $$\vert P( c')\vert\lt\vert P( c)\vert.$$
Beweis. Das Polynom $R(X)=P(c+X)/P(c )$ ist von der Form $1+b\cdot X^n+Q(X)\cdot X^{n+1}$ für gewisse $n\in \mathbb N$, $b\in\mathbb C^\ast$ und $Q\in \mathbb C[X]$. Es sei $u$ wie im obigen Lemma. Dann gilt für $c'=c+u$ die Ungleichung $$\vert P( c')\vert=\left|P( c)\cdot R(u)\right|\lt\vert P( c)\vert.$$qed