Es sei $J\subset \mathbb R$ ein offenes Intervall, $D$ eine offene Teilmenge ein Banachraums $E$, und $f\in\mathcal C(J\times D,E)$.
Definition. Eine Funktion $u\in \mathcal C^1(J_u,D)$ heißt Lösung der Differentialgleichung $\dot{x}=f(t,x),$ wenn $J_u\subset J$ ein aus mehr als einem Punkt bestehendes Teilintervall ist, so dass gilt \begin{equation*}\dot{u}(t)=f(t,u(t))\quad\text{ für }t\in J_u.\end{equation*} Hier wird die Ableitung nach der Variablen $t\in J$ mit einem Punkt bezeichnet.
Differentialgleichung lassen sich im Allgemeinen nicht explizit lösen. Unser Ziel sind Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen, sowie einige spezielle Lösungsmethoden. Wir beginnen mit einem nützlichen Lemma.
7.0.1. Gronwallsches Lemma. Es sei $J$ ein Intervall, $t_0\in $, und $\alpha,\beta\in [0,\infty)$. Es sei $g\colon J\to [0,\infty)$ stetig und es gelte $$g(t)\le \alpha+\beta\left|\int_{t_0}^tg(\tau)d\tau\right|, \quad\text{ für } t\in J.$$ Dann gilt für $t\in J$ die Abschätzung $$g(t)\le \alpha e^{\beta|t-t_0|}.$$
Beweis. Wir nehmen zuerst $t\ge t_0$ an und setzen $$h\colon[t_0,t]\to [0,\infty),\quad s\mapsto \beta e^{\beta(t_0-s)}\int_{t_0}^s g(\tau)\,d\tau.$$ Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung liefert $$h'(s)=-\beta h(s)+ \beta e^{\beta(t_0-s)}g(s)\le \alpha\beta e^{\beta(t_0-s)}=\frac{d}{ds}\left(-\alpha e^{\beta(t_0-s)}\right).$$ Integration dieser Ungleichung ergibt, wegen $h(t_0)=0$, $$h(t)=\beta e^{\beta(t_0-t)}\int_{t_0}^t g(\tau)\,d\tau\le \alpha -\alpha e^{\beta(t_0-t)}.$$ Die Behauptung folgt aus der implizierten Ungleichung $$g(t)\le \alpha+\beta\int_{t_0}^tg(\tau)\,d\tau=\alpha+e^{\beta(t-t_0)}h(t)\le \alpha + \alpha e^{\beta(t-t_0)}-\alpha.$$ Im Fall $t\le t_0$ argumentiert man genauso mit der Hilfsfunktion $$h(s)=- \beta e^{\beta(s-t_0)}\int^{t_0}_s g(\tau)\,d\tau.$$qed
Beispiele.
- Für den Anfangswert $(t_0,x_0)\in \mathbb R^2$ besitzt die skalare Differentialgleichung $$\dot{x}=x^2$$ die eindeutig bestimmte, nicht fortsetzbare Lösung $$u(t)=\begin{cases}\frac1{t_0+\frac1{x_0}-t}&\text{ falls }x_0\neq 0,\\ 0&\text{ falls }x_0=0\end{cases}$$ auf dem Intervall $$J_u=\begin{cases} \left(t_0+\frac1{x_0},\infty\right)&\text{ falls }x_0\lt 0,\\ \mathbb R&\text{ falls }x_0=0\\ \left(-\infty, t_0+\frac1{x_0}\right)&\text{ falls }x_0\gt 0.
\end{cases}$$ Beweis. Es seien $u$ und $v$ Lösungen zum gegebenen Anfangswert und $I\subset J_u\cap J_v$ ein kompaktes Intervall mit $t_0\in \mathring{I}$. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung liefert für $t\in I$ $$w(t):=u(t)-v(t)=\int_{t_0}^t\left(u^2(s)-v^2(s)\right)ds=\int_{t_0}^t\left(u(s)+v(s)\right)w(s)\,ds,$$ und mit $\beta:=\max_{s\in I}|u(s)+v(s)|$ folgt daraus $$|w(t)|\le \beta \left|\int_{t_0}^t|w(s)|\,ds\right|.$$ Aus dem Gronwallschen Lemma folgt das Verschwinden von $w$ und damit die Eindeutigkeit. Dass die angegebenen Funktionen Lösungen und als solche nicht fortsetzbar sind, ist unmittelbar klar. - Zum Anfangswert $(t_0,x_0)=(0,0)$ besitzt die Differentialgleichung $$\dot{x}=2\sqrt{|x|}$$ überabzählbar viele globale, d.h. auf $\mathbb R$ definierte, Lösungen. Neben der identischen Lösung $u\equiv 0$ gibt es für alle $a\lt 0\lt b$ die Lösungen $$u_{a,b}(t):=\begin{cases}-(t-a)^2&\text{ für } t\in (-\infty,a],\\0&\text{ für } t\in [a,b],\\(t-b)^2&\text{ für } t\in [b,\infty).\end{cases}$$