1.1.1. Definition. Seien $G$ und $H$ Gruppen. Eine Abbildung $\phi\colon G\to H$ heißt Homomorphismus, oder genauer Gruppenhomomorphismus, wenn für alle $g,g'\in G$ gilt $$\phi(g\cdot g')=\phi(g)\cdot \phi(g').$$ Einen bijektiven Homomorphismus nennt man Isomorphismus. Entsprechend nennt man Gruppen $G$ und $H$ isomorph, falls ein Isomorphismus zwischen ihnen existiert. Eine Gruppe $G$ heißt zyklisch, falls $G$ isomorph ist zu $\mathbb Z$ oder zu $\mathbb Z/n\mathbb Z$ für ein $n\in \mathbb N$.
1.1.2. Proposition. Es sei $\phi\colon G\to H$ ein Homomorphismus.
Beweis.
- Aus der Gleichung $$ \phi(g)\cdot\phi(e)=\phi(g\cdot e)=\phi(g)$$ erkennen wir, dass $\phi(e)$, wie auch $e$, die Gleichung $\phi(g)\cdot x=\phi(g)$ löst. Da derartige Lösungen eindeutig sind, können wir folgern $\phi(e)=e$. Betrachten wir nun die Gleichung $$\phi(g)\cdot \phi\left(g^{-1}\right)=\phi\left(g\cdot g^{-1}\right)= \phi(e)=e,$$ so erkennen wir in analoger Weise, dass $\phi\left(g^{-1}\right)$ und $\left(\phi(g)\right)^{-1}$ beide die Gleichung $\phi(g)\cdot x=e$ lösen. Wieder liefert die Eindeutigkeit solcher Lösungen die Behauptung.
- Es sei $\phi\colon G\to H$ ein bijektiver Homomorphismus. Es seien $\phi(g_i)=h_i$ für $i\in \{1,2\}$ und folglich $\phi^{-1}(h_i)=g_i$. Aus der Homomorphie-Eigenschaft $$\phi(g_1\cdot g_2)=\phi(g_1)\cdot \phi(g_2)=h_1\cdot h_2$$ folgt $$\phi^{-1}(h_1)\cdot \phi^{-1}(h_2)=g_1\cdot g_2=\phi^{-1}\left(\phi(g_1\cdot g_2)\right)=\phi^{-1}(h_1\cdot h_2).$$
- In der Gleichungskette \begin{align}(\psi\circ\phi)(g_1\cdot g_2)&=\psi\left(\phi(g_1\cdot g_2)\right)\\&=\psi\left(\phi(g_1)\cdot \phi(g_2)\right)\\&=\psi\left(\phi(g_1)\right)\cdot\psi\left(\phi(g_2)\right)\\&=\left(\psi\circ\phi\right)(g_1)\cdot \left(\psi\circ\phi\right)(g_2)\end{align} wird je zweimal die Definition der Komposition und die Homomorphie-Eigenschaft angewandt.
qed
1.1.3. Definition. Es sei $G$ eine Gruppe. Eine nichtleere Teilmenge $H\subset G$ heißt Untergruppe von $G$, im Zeichen $H\lt G$, wenn aus $h,h'\in H$ folgt $h\cdot h'\in H$ und $h^{-1}\in H$.
Insbesondere gilt für jede Untergruppe $h\cdot h^{-1}=e\in H$.
1.1.4. Proposition. Ist $A\subset G$ eine Teilmenge, dann gibt es eine eindeutig bestimmte Untergruppe $\langle A\rangle\lt G$, die von $A$ erzeugte Untergruppe, mit der Eigenschaft: Ist $H\lt G$ eine Untergruppe von $G$, welche $A$ enthält, so enthält $H$ auch $\langle A\rangle$.
Beweis. Sind $H_i\subset G$ für $i$ aus einer Indexmenge $I$ jeweils Untergurppen von $G$, so ist auch $\bigcap_{i\in I}H_i$ wieder eine Untergruppe von $G$. Definieren wir $\langle A\rangle$ als den Durchschnitt aller $A$ enthaltenden Untergruppen von $G$, so erfüllt diese Untergruppe klar die charakterisierende Eigenschaft und ist als solche eindeutig bestimmt.
qed
1.1.5. Definition. Die Ordnung eines Elements $g$ einer Gruppe $G$ ist die Mächtigkeit der von $g$ erzeugten Untergruppe, kurz $$\mathrm{ord}(g):=\left|\langle g\rangle\right|\in \mathbb N\cup\{\infty\}.$$