1.3. Normalteiler und Quotientengruppen

1.3.1. Definition. Eine Untergruppe $N$ heißt Normalteiler oder normale Untergruppe von $G$, im Zeichen $N\triangleleft G$, wenn für alle $g\in G$ gilt $$g^{-1}Ng\subset N.$$

Mit $g^{-1}Ng$ ist natürlich die Teilmenge $g^{-1}Ng:=\{ g^{-1}ng\mid n\in N\}\subset G$ gemeint. Aus $g^{-1}Ng\subset N$ für alle $g$ folgt Gleichheit $g^{-1}Ng= N$.

1.3.2. Homomorphiesatz. Es sei $G$ eine Gruppe.

1. Ist $N\triangleleft G$ ein Normalteiler, so bildet die Menge $G/N$ der Linksnebenklassen eine Gruppe bezüglich der Multiplikation $(gN)\cdot (hN):=ghN$. Man nennt $G/N$ die Qotientengruppe von $G$ nach $N$ oder auch einfach "$G$ modulo $N$".
2. Ist $\phi\colon G\to H$ ein Homomorphismus, so ist das Bild $\mathrm{Im}(\phi)\subset H$ eine Untergruppe und der Kern $$\mathrm{Ker}(\phi):=\{g\in G\mid \phi(g)=e\}$$ ein Normalteiler in $G$. Die Abbildung $$\overline{\phi}\colon G/\mathrm{Ker}(\phi)\to \mathrm{Im}(\phi),\quad g\mathrm{Ker}(\phi)\mapsto \phi(g)$$ ist ein Isomorphismus.
3. Für $N\triangleleft G$ und $H\lt G$ gilt $N\cap H\triangleleft H$ und $$H/\left(N\cap H\right)\cong HN/N.$$

Beweis.

1. Es ist $$(gN)(hN)=\{gn_1hn_2\mid n_1,n_2\in N\}=\{gh(h^{-1}n_1h)n_2\mid n_1,n_2\in N\}=ghN.$$ Die Gruppengesetze für $G/N$ folgen aus denen von $G$.
2. Wegen $\left(\phi(g)\right)^{-1}=\phi\left(g^{-1}\right)$ und $\phi(g_1g_2)=\phi(g_1)\phi(g_2)$ ist $\mathrm{Im}(\phi)$ eine Untergruppe von $H$. Aus $$\phi(k)=\phi(k')=e\quad \text{ folgt } \quad\phi\left(k^{-1}\right)=\left(\phi(k)\right)^{-1}=e^{-1}=e$$ und ebenfalls $$\phi(kk')=\phi(k)\phi(k')=e\cdot e=e.$$ Deshalb ist $\mathrm{Ker}(phi)$ eine Untergruppe von $G$. Ist $g\in G$ und $k\in \mathrm{Ker}(\phi)$, so gilt $$\phi(g^{-1}kg)=\phi(g^{-1})\phi(g)=\phi(g^{-1}g)=\phi(e)=e.$$ Also ist $g^{-1}kg\in \mathrm{Ker}(\phi)$ und $\mathrm{Ker}(\phi)$ ist ein Normalteiler in $G$.
   Die Abbildung $\overline{\phi}$ ist wohldefiniert: Ist $g\mathrm{Ker}(\phi)=g'\mathrm{Ker}(\phi)$, so ist $g'=gk$ für ein $k\in \mathrm{Ker}(\phi)$, also $$\phi(g')=\phi(gk)=\phi(g)e=\phi(g).$$ Die Abbildung ist offenbar ein surjektiver Homomorphismus. Sie ist aber auch injektiv: Gilt $\phi(g)=\phi(g')$, so ist $$\phi(g^{-1}g')=\left(\phi(g)\right)^{-1}\phi(g')=e,$$ also $g^{-1}g'\in \mathrm{Ker}(\phi)$ und folglich $g\mathrm{Ker}(\phi)=g'\mathrm{Ker}(\phi)$. Also ist $\overline{\phi}$ ein Isomorphismus.
3. Offenbar gilt $N\triangleleft HN$ und die surjektive Abbildung $$H\to HN/N,\quad h\mapsto hN$$ hat als Kern die Gruppe $N\cap H$. Die Aussage folgt aus dem bereits Bewiesenem.

qed

1.3.3. Beispiel. Es sei $n\mathbb Z\triangleleft \mathbb Z$ die Untergruppe der durch $n$ teilbaren ganzen Zahlen. Die zyklische Gruppe $\mathbb Z/n\mathbb Z$ ist die Quotientengruppe nach dieser Untergruppe.