1.4. Die Welt der endlichen Gruppen

Gruppen treten in allen Teilen der Mathematik in vielfältigster Form auf. Um einen Anfang zu machen, soll ein kurzer Überblick über die Welt der endlichen Gruppen gegeben werden.

Abelsche Gruppen sind am einfachsten zu verstehen.

1.4.1. Elementarteilersatz. Jede endliche abelsche Gruppe ist Produkt zyklischer Gruppen. Ist $G$ abelsche Gruppe, so gibt es eine eindeutig bestimmte Folge $d_1,\ldots,d_k$ von Elementarteilern $d_i\in \mathbb N\setminus \{1\}$, so dass für jedes $i\lt k$ die Zahl $d_i$ die Zahl $d_{i+1}$ teilt, und einen Isomorphismus $$G\cong \prod_{i\le k}\mathbb Z/d_i\mathbb Z.$$

Beweisidee. Der Beweis startet mit der Beobachtung, dass es einen surjektiven Homomorphismus $\phi_0\colon\mathbb Z^{n_0}\to G$ für ein $n_0\in \mathbb N$ geben muss. Wegen des Homomorphiesatzes ist die Bestimmung von $G$ äquivalent mit der Bestimmung des Kerns von $\phi_0$.
Die erste weiterführende Einsicht ist, dass es eine weitere Surjektion $\mathbb Z^{n_1}\to \mathrm{Ker}(\phi_1) $ mit einem $n_1\in \mathbb N$ gibt. Dies folgt letztlich aus der Tatsache, dass jede ganze Zahl nur endlich viele echte Teiler besitzt. Komposition der Surjektion mit der offensichtlichen Inklusion liefert einen Homomorphismus $$\phi_1\colon \mathbb Z^{n_1}\to \mathbb Z^{n_0}.$$ Damit sind wir aber nun einen echten Schritt weiter. Der Homomorphismus $\phi_1$ wird nämlich durch eine $n_0\times n_1$-Matrix $A$ mit ganzzahligen Einträgen beschrieben. Wir können auf $A$ eine Variante des Gaußschen Algorithmus loslassen, aus der wir die Existenz von invertierbaren ganzzahligen Matrizen $S$ und $T$ mit \[SAT=
\left(
\begin{array}{cc}
D&0\\
0&0
\end{array}
\right),
\] folgern. Hier ist $D$ eine Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen $d_1,\ldots, d_k$, wo für jedes $i\lt k$ die Zahl $d_i$ die Zahl $d_{i+1}$ teilt. Diese Aussage liefert dann den im Elementarteilersatz behaupteten Isomorphismus.
Im Folgenden bespreche ich kurz diese Variante des Gaußschen Algorithmus. Es reicht es, die Matrix $A$ mittels invertierbarer Matrizen $S',T'$ in die Form \[
S'AT'=\left(
\begin{array}{cc}
d_1&0\\
0&A'
\end{array}
\right)
\] zu bringen, wo $d_1$ der größte gemeinsame Teiler aller Einträge der Matrix $A$ ist. Induktion über die Anzahl von Zeilen (oder Spalten) von $A'$ liefert dann die Behauptung.
Folgende Operationen in der Matrix $A$ lassen sich durch Multiplikation mit invertierbaren Matrizen von links oder rechts darstellen:

• Multiplikation eine Zeile oder einer Spalte mit $\pm1$.
• Vertauschen zweier Zeilen oder zweier Spalten.
• Addition einer Vielfachen einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile oder Spalte.

Ist $A$ die Null-Matrix, so ist nichts zu zeigen. Andernfalls können wir durch Vertauschen von Zeilen und von Spalten die Matrix so abändern, dass an der Stelle $(1,1)$ ein Element mit minimaler Anzahl von Primfaktoren steht. Wir nennen die neue Matrix wieder $A$ und betrachten verschiedene Fälle:

1. Es gibt ein Element in der ersten Zeile, sagen wir $a_{12}$, so dass der größte gemeinsame Teiler von $a_{11}$ und $a_{12}$ gleich $b\not=a_{11}$ ist. Dann ist die Anzahl der Primfaktoren von $b$ echt kleiner als die Anzahl der Primfaktoren in $a_{11}$ und es gilt $b=s\cdot a_{11}+t\cdot a_{12}$ für geeignete $s,t\in \mathbb Z$. Dann existieren $s',t'\in \mathbb Z$ mit $ss'+tt'=1$. Multiplikation von rechts mit der invertierbaren Matrix \[
   \left(
   \begin{array}{ccccc}
   s&-t'&&&\\
   t&s'&&&\\
   &&1&&\\
   &&&\ddots&\\
   &&&&1
   \end{array}
   \right)
   \] liefert eine Matrix mit dem Eintrag $b$ an der Stelle $(1,1)$. Durch wiederholtes Multiplizieren von rechts mit invertierbaren Matrizen können wir somit annehmen, dass das Element an der Stelle $(1,1)$ die anderen Elemente in der ersten Zeile teilt.
2. Es gibt ein Element in der ersten Spalte, das nicht durch das Element an der Stelle $(1,1)$ teilbar ist. Dann können wir analog wie im ersten Fall von links mit invertierbare Matrizen multiplizieren, um an der Stelle $(1,1)$ einen Eintrag zu erhalten, der alle anderen Einträge in der ersten Spalte teilt. Wir können also ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, wir seien im dritten Fall.
3. Falls das Element $c$ an der Stelle $(1,1)$ alle Einträge in der ersten Zeile und ersten Spalte teilt, so kann aus unserer Matrix durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen eine Matrix der Form \[
   \left(
   \begin{array}{cc}
   c&0\\
   0&A''
   \end{array}
   \right)
   \] gewonnen werden.

Gibt es in $A''$ einen Eintrag, der nicht durch $c$ teilbar ist, so addieren wir die entsprechende Zeile zur ersten Zeile. Wiederholen des durch die Fälle 1-3 beschriebenen Algorithmus liefert eine neue Matrix der in Fall 3 beschriebenen Gestalt mit einem Eintrag an der Stelle $(1,1)$, der nun weniger Primfaktoren enthält als $c$. Dieses Verfahren bricht ab, sobald an der Stelle $(1,1)$ als Eintrag der größte gemeinsame Teiler $d_1$ aller Matrixelemente von zu stehen kommt. .
qed

Die nächste Stufe in der Komplexitätshierarchie nehmen die nilpotenten Gruppen ein.

1.4.2. Definition.

1. Das Zentrum einer Gruppe $G$ ist der Normalteiler $$Z(G):= \{z\in G\mid zg=gz \,\,\forall g\in G\}.$$
2. Rekursiv definiert man die iterierten Zentren $Z^i(G)$ von $G$ durch die Eigenschaft $$Z^{i+1}(G)/Z^i(G)=Z\left(G/Z^i(G)\right).$$ Die Folge $1\triangleleft Z(G)\triangleleft \ldots \triangleleft Z^i(G)\triangleleft\ldots \triangleleft G$ nennt man (obere) Zentralreihe.
3. Gilt $Z^n(G)=G$ für ein $n\in \mathbb N$, so nennt man $G$ nilpotent.

Die nilpotenten Gruppen lassen sich wie folgt charakterisieren.

1.4.3. Satz. Eine endliche Gruppe $G$ ist genau dann nilpotent, wenn sie sich eindeutig als direktes Produkt $$G=\prod_{i\le k}P_i$$ von Gruppen $P_i$ darstellen lässt, wobei die Ordnung eines jeden Faktors $P_i$ eine Primzahlpotenz ist und keine Primzahl doppelt auftaucht.

Die als Faktoren auftretenden Gruppen nennt man $p$-Gruppen. Solche $p$-Gruppen können durchaus kompliziert sein, gelten allgemein jedoch als harmlos und gut verstanden. Wir steigen eine Stufe weiter in der Komplexität.

1.4.4. Definition.

1. Für zwei Element $g,h\in G$ einer Gruppe nennt man das Element $[g,h]:=ghg^{-1}h^{-1}\in G$ den Kommutator von $g$ und $h$.
2. Die Kommutatorgruppe einer Gruppe $G$ ist die von den Kommutatoren erzeugte normale Untergruppe $$G':=[G,G]:= \langle [g,h]\mid g,h\in G\}.$$
3. Rekursiv definiert man die iterierten Kommutatorgruppen $G^i$ von $G$ durch $$G^{i+1}:=\left(G^i\right)':=[G^i,G^i].$$ Die Folge $G\triangleright \ldots \triangleright G^i\triangleright\ldots $ nennt man Kommutatorreihe.
4. Gilt $G^n=1$ für ein $n\in \mathbb N$, so nennt man $G$ auflösbar.

Ein wichtiges Resultat der Gruppentheorie lässt sich sehr prägnant formulieren.

1.4.5. Feit-Thompson. Gruppen ungerader Ordnung sind auflösbar.

Der Beweis dieses Satzes wurde 1963 veröffentlicht. Dieser Beweis erstreckt sich über mehr als 250 Seiten. Meines Wissens gibt es bislang keine wesentlichen Vereinfachungen dieses Beweises. John Griggs Thompson erhielt 1970, unter anderem für diesen Satz, die Fields-Medaille.

1.4.6. Definition. Eine Gruppe $G$ ohne echten Normalteiler $1\not=N\not=G$ heißt einfach.

Um Beispiele von nicht-abelschen einfachen Gruppen zu finden, braucht man nicht weit zu suchen: Aus der Vorlesung Lineare Algebra kennen Sie die Permutationsgruppe $S_n$ der bijektiven Abbildung der Menge $\{1,\ldots,n\}$ auf sich selbst. Dort wird auch das Signum $\mathrm{sgn}(\tau)$ einer Permutation $\tau\in S_n$ definiert. Dieses Signum beschreibt einen Gruppenhomomorphismus $$\mathrm{sgn}\colon S_n\to \mathbb Z/2\mathbb Z.$$ Den Kern von $\mathrm{sgn}$ nennt man die alternierende Gruppe $A_n$. Man kann zeigen, dass die alternierenden Gruppen $A_n$ für $n\ge 5$ einfach sind.

Die endlichen einfachen Gruppen gelten als klassifiziert. Listen finden sich zum Beispiel in Wikipedia. Es gibt einige unendliche Familien solcher Gruppen, die als Gruppen von Matrizen mit Werten in endlichen Körpern entstehen. Daneben gibt es noch einige sporadische Gruppen. Die bekannteste solche sporadische Gruppe ist das sogenannte Monster. Die Existenz des Monsters wurde von einem in Werther lebenden ehemaligen Kollegen aus Bielefeld, Prof. Bernd Fischer, der damals bereits mehrere nach ihm benannte einfache Gruppen entdeckt hatte, etwa 1973 diskutiert. Etwa 10 Jahre später wurde die Existenz des Monsters von Robert Griess tatsächlich nachgewiesen. Seine Gruppenordnung ist $$2^{46}\cdot 3^{20}\cdot 5^9\cdot 7^6\cdot 11^2\cdot 13^3\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot29\cdot 31\cdot41\cdot 47\cdot59\cdot71.$$