Als Anwendungsbeispiel berechnen wir die Inverse einer $m\times m$-Matrix $A$, das heißt wir suchen die Lösung der Gleichung $AX={\mathbb I}_m$. Genauer suchen wir gleichzeitig die Lösungen $X_j$, das heißt die $j$-ten Spalten in $X$, zu den Gleichungen $AX_j=e_j$ für alle $j\leq m$. Hier ist $e_j$ der $j$-te Einheits-Spaltenvektor, die $j$-te Spalte in der Einheitsmatrix ${\mathbb I}_m$. Wir beginnen mit der erweiterten Matrix $(A,{\mathbb I}_m)$. Nach geeigneten elementaren Zeilenumformungen, die zusammen dasselbe ergeben wie die Multiplikation von links mit einem entsprechenden Produkt $R$ von Elementarmatrizen, erhalten wir eine erweiterte Matrix $(RA,R{\mathbb I}_m)=(S,R)$. Die Matrix $RA=S$ hat denselben Rang wie $A$, also vollen Rang, und ist in normierter Zeilenstufenform. Es muss sich also um die Einheitsmatrix $S={\mathbb I}_m$ handeln und folglich ist $R$ die zu $A$ inverse Matrix.
Hier ein numerisches Beispiel. Wir suchen die Inverse zur Matrix
\[A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&-1\\2&1&0\\3&-2&2\end{array}\right).\] Dazu schreiben wir uns zuerst die erweiterte Matrix $(A,{\mathbb I}_m)$ hin:
\[\left(
\begin{array}{rrrc|rrr@{\;\;}}
1&2&-1&&1&0&0\\
2&1&0&&\phantom{-}0&1&0\\
\phantom{-}3&-2&2&&0&\phantom{-}0&\phantom{-}1
\end{array}
\right)
\hspace{3cm} \begin{array}{c}Z_1\\Z_2\\Z_3\end{array}
\hspace{3.4cm}\phantom{q}
\] Im ersten Schritt wollen wir die erste Spalte in Stufenform bringen. Wir subtrahieren das $2$-fache der ersten Zeile von der zweiten. Zu der dritten Zeile addieren wir die erste und subtrahieren das $2$-fache der zweiten Zeile. Das Resultat ist
\[\left(
\begin{array}{rrrc|rrr@{\;\;}}
1&2&-1&&1&0&0\\
0&-3&2&&-2&1&0\\
\phantom{-}0&-2&1&&1&-2&\phantom{-}1\end{array}
\right)
\hspace{3cm}
\begin{array}{ccl}
Z'_1&=&Z_1\\Z'_2&=&Z_2-2Z_1\\Z'_3&=&Z_3+Z_1-2Z_2
\end{array}
\] Im nächsten Schritt erreichen wir die normierte Zeilenstufenform.
\[\left(
\begin{array}{rrrc|rrr@{\;\;}}
1&0&0&&2&-2&1\\
0&1&0&&-4&5&-2\\
\phantom{-}0&\phantom{-}0&\phantom{-}1&&-7&8&-3\end{array}
\right)
\hspace{3cm}
\begin{array}{ccl}
Z''_1&=&Z_1'+Z'_3\\Z''_2&=&Z'_2-2Z'_3\\Z''_3&=&Z'_3+2Z''_2
\end{array}\hspace{0.5cm}\phantom{p}
\] Die nun auf der rechten Seite stehende Matrix ist die zu $A$ inverse. Das nachzuprüfen ist nicht weiter schwierig.
\[A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2&-2&-1\\-4&5&-2\\-7&8&-3\end{array}\right).\]
Einige offensichtlichen Folgerungen des bislang Erarbeiteten wollen wir festhalten:
Korollar. Jede invertierbare $m\times m$-Matrix lässt sich als Produkt von $m\times m$-Elementarmatrizen $E_{ij}$ und $E_i(k)$ mit $k\not=0$ darstellen. Umgekehrt ist jedes solche Produkt von solchen invertierbaren Elementarmatrizen invertierbar.
Eine invertierbare Matrix ist im Allgemeinen auf viele verschiedene Weisen als ein Produkt von Elementarmatrizen darstellbar.
Beweis. Elementare Zeilenumformungen in einer Matrix $A$ werden beschrieben durch Matrixmultiplikation $E\cdot A$, wobei eine Elementarmatrix $E$ von links mit $A$ multipliziert wird. Durch wiederholte elementare Zeilenumformungen, also durch Multiplikation mit einem Produkt $R$ von Elementarmatrizen, kann $A$ in normierte Zeilenstufenform gebracht werden, also $RA={\mathbb I}_m$. Die Matrix $R$ ist somit linksinvers zu $A$. Da $A$ invertierbar ist, ist linksinvers gleichbedeutend mit rechtsinvers. Somit erhalten wir die Aussage, dass die Inverse einer Matrix als Produkt von Elementarmatrizen darstellbar ist. Das gilt dann natürlich auch für die Inverse von $R$, also $A$.
qed
Durch eine einfache Modifikation können wir die obige Aussage auf alle quadratische Matrizen verallgemeinern. Es reicht, neben den bisher betrachteten Elementarmatrizen zusätzlich Diagonalmatrizen $E_i(0)$ zuzulassen.
Korollar. Jede quadratische Matrix $A\in Mat_K(m,m)$ lässt sich als Produkt von Elementarmatrizen $E_{ij}$ und $E_i(k)$ darstellen mit $k\in K$.
Beweis. Wie wir weiter oben gesehen haben, lassen sich zu jeder quadratischen Matrix $A$ invertierbare Matrizen $R$ und $T$ derart finden, dass die Matrix $RAT$ die Normalform
\[RAT=
\left(
\begin{array}{cc}
{\mathbb I}_r&0\\
0&0
\end{array}
\right).
\] besitzt. Diese Normalform ist das Produkt $\prod_{i=r+1}^m E_i(0)$. Somit ist \[A=R^{-1}\left(\prod_i E_i(0)\right)T^{-1}\] Produkt von Elementarmatrizen, zumal die invertierbaren Matrizen $R^{-1}$ und $T^{-1}$ als Produkte invertierbarer Elementarmatrizen darstellbar sind.
qed