Wir sammeln hier einige zur Homologie analogen Eigenschaften der Kohomologie. Die Beweise sind fast wörtlich übertragbar; einzig die Pfeile müssen systematisch umgedreht werden.
2.1.1. Endliche Additivität. Es sei $h^*$ eine Kohomologietheorie und $(X_j,A_j), j\in J$ eine endliche Familie von Raumpaaren. Bezeichnet $$i_j\colon (X_j,A_j)\to \left(\sqcup_jX_j,\sqcup_j A_j\right)$$ die kanonische Inklusion in die topologische Summe, so sind die Abbildungen $$ h^n\left(\sqcup_j X_j,\sqcup_jA_j\right) \to \oplus_{j\in J} h^n\left(X_j,A_j\right),\quad m\mapsto \prod_{j\in J}h^n\left(i_j\right)(m)$$ jeweils Isomorphismen.
2.1.2. Lange exakte Sequenzen zu Tripeln. Für jedes Tripel $(X,A,B)\in TOP(3)$ ist die Sequenz $$
\ldots \leftarrow h^{n+1}(X,A) \xleftarrow{\delta^{n}} h^n(A,B)\leftarrow h^n(X,B)\leftarrow h^n(X,A)\xleftarrow{\delta^{n+1}}\ldots
$$ exakt. Die nicht gekennzeichneten Abbildungen sind jeweils durch die Inklusionen induziert.
2.1.3. Dualitäts-Satz. Die abgeschlossenen Teilmengen $A\subset \mathbb R^a$ und $B\subset \mathbb R^b$ seien homöomorph. Ist $h^*$ eine Kohomologietheorie, so sind $h^{n+a}(\mathbb R^a,\mathbb R^a\setminus A)$ und $h^{n+b}(\mathbb R^b,\mathbb R^b\setminus B)$ für jedes $n\in \mathbb Z$ isomorph.
2.1.4. Definition. Es seien $X_1,X_2\subset X$ Unterräume eines topologischen Raumes und $X_0:=X_1\cap X_2$. Man nennt $(X;X_1,X_2)$ eine ausschneidende Triade bezüglich einer gegebenen Kohomologietheorie $h^*$, falls die Inklusionsabbildung $(X_1,X_0)\hookrightarrow (X,X_2)$ Isomorphismen $h^n(X_1,X_0)\leftarrow h^n(X,X_2)$ für alle $n\in \mathbb Z$ induzieren.
2.1.5. Satz von Mayer-Vietoris. Ist $(X;X_1,X_2)$ eine ausschneidende Triade bezüglich der Kohomologietheorie $h^*$, so definieren für jeden Teilraum $A\subset X_0$ die Inklusionsabbildungen $i_k\colon (X_0,A)\to (X_k,A)$ und $j_k\colon (X_k,A)\to (X,A)$ eine lange exakte Sequenz $$
\ldots\leftarrow h^{n+1}(X,A) \xleftarrow{\delta} h^n(X_0,A)\xleftarrow{i_{1}^*-i_{2}^*}h^n(X_1,A)\oplus h^n(X_2,A) \xleftarrow{(j_{1}^*,j_{2}^*)}h^n(X,A)
\xleftarrow{\delta} h^{n-1}(X_0,A)\leftarrow \ldots.$$ Das Differential ist dabei definiert als Komposition $$\delta\colon h^{n-1}(X_0,A) \to h^n(X_1,X_0)\xleftarrow{\cong} h^n(X,X_2)\to h^{n}(X,A) $$ zweier durch Inklusionen induzierter Abbildungen und des Differentials zum Tripel $(X_1,X_0,A)$.
2.1.6. Satz. Es bezeichne $*\subset S^n$ einen einpunktigen Unterraum. Für eine Kohomologietheorie $h^*$ gilt $$h^k(S^n,*)\cong h^{k-n}(P).$$ Ist $H^*$ eine gewöhnliche Kohomologietheorie mit $H^0(P)=:M$, so gilt insbesondere $$H^k(S^n,*)\cong \begin{cases} M&\text{ falls }k=n\\ 0&\text{ sonst.}\end{cases}.$$
Es sei $H^*$ eine gewöhnliche Kohomologietheorie mit Koeffizientenmodul $M$, sowie $(X,A)$ ein relativer CW-Komplex. Der zelluläre Kokettenkomplex $$\cdots \xleftarrow{\delta^{q+1}}C^{q+1}\xleftarrow{\delta^{q}}C^{q}\xleftarrow{\delta^{q-1}}C^{q-1}\xleftarrow{\delta^{q-2}}\cdots$$ von $(X,A)$ zur gegebenen CW-Struktur ist definiert durch das Differential $$C^q:={H^q(X_q,X_{q-1})}\xrightarrow{\delta} H^{q+1}(X_{q+1},X_{q-1})=:C^{q+1}$$ in der langen exakten Sequenz zum Tripel $(X_{q+1},X_q,X_{q-1})$.
2.1.7. Satz. Die Kohomologie $H^q(X,A;M)$ eines endlich dimensionalen CW-Komplexes berechnet sich für eine additive, gewöhnliche Kohomologietheorie als Kohomologie des zellulären Kokettenkomplexes, d.h. es gilt $$H^q(X,A;M)\cong \frac{\ker\delta^q}{\mathrm{im}\,\delta^{q-1}}.$$
2.1.8. Definition. Es sei $X$ ein topologischer Raum, $M$ ein Modul über dem kommutativen Ring $R$. Der singuläre Kokettenkomplex mit Werten in $M$ ist definiert als $$C^*_{sing}(X,A;M):=\mathrm{Hom}_R\left(C_*^{sing}(X,A;R),M\right), \quad \delta^n:=\mathrm{Hom}_R\left(\partial_{n+1},\mathrm{id}_M\right)$$ Die singuläre Kohomologie ist definiert als die Homologie des singulären Kokettenkomplexes $$H^n_{sing}(X,A;M):=\frac{\ker\left(\delta^n\colon C^n_{sing}(X,A;M)\to C^{n+1}_{sing}(X,A;M)\right)}{\mathrm{im}\left(\delta^{n-1}\colon C^{n-1}_{sing}(X,A;M)\to C^{n}_{sing}(X,A;M)\right)}.$$
Die Definition des Differentials $\delta$, angewandt auf Repräsentanten, lautet also $$\left(\delta^n\phi\right)\left(c_{n+1}\right):=\phi\left(\partial_{n+1}(c_{n+1})\right).$$ Hier ist $\phi\colon C_n^{sing}(X,A;R)\to M$ ein Morphismus in $R$-$MOD$ und $c_{n+1}\in C_{n+1}^{sing}(X,A;R)$. Eine stetige Abbildung $f\colon (Y,B)\to (X,A)$ induziert einen Morphismus $$f^*:=C^*_{sing}(f)\colon C^*_{sing}(X,A;M)\to C^*_{sing}(Y,B;M) $$ von Kokettenkomplexen vermittels der Vorschrift $$\left(f^*\phi\right)(c):=\phi(f_*c).$$ Folglich sind sowohl die Konstruktion des singulären Kokettenkomplexes, wie auch die der singulären Kohomologie funktoriell.
2.1.9. Satz. Die singuläre Kohomologie $H^*_{sing}(-,-;M)$ erfüllt die Eilenberg-Steenrod Axiome. Sie ist eine gewöhnliche, additive Kohomologietheorie mit Koeffizienten in $M$.
Beweis. Die einzelnen Axiome werden analog zum Fall der singulären Homologie bewiesen: Die kurze exakte Sequenz von singulären Kettenkomplexen $$0\to C_*^{sing}(A;R)\to C_*^{sing}(X;R)\to C_*^{sing}(X,A;R)\to 0$$ liefert nach Anwenden des Funktors $\mathrm{Hom}_R(-,M)$ eine kurze exakte Sequenz von singulären Kokettenkomplexen $$0\leftarrow C^*_{sing}(A;M)\leftarrow C^*_{sing}(X;M)\leftarrow C^*_{sing}(X,A;M)\leftarrow 0.$$ Hier benutzen wir die Tatsache, dass die Kettenkomplexe freie $R$-Moduln sind: Die disjunkte Zerlegung $$S_n(X)=S_n(A)\sqcup \left(S_n(X)\setminus S_n(A)\right)$$ liefert eine Zerlegung $C_n^{sing}(X;R)=C_n^{sing}(A;R)\oplus D_n$ mit einem zu $C_*^{sing}(X,A;R)$ isomorphen direkten Summanden $D_n$ und eine entsprechende Zerlegung des Homomorphismenmoduls.
Das Axiom zur langen exakten Kohomologiesequenz folgt damit aus Satz 1.4.8. Analog folgt das Homotopieaxiom mit Hilfe der Kettenhomotopie 1.5.7. und zuletzt das Ausschneidungsaxiom mit Hilfe der baryzentrischen Unterteilung 1.5.14.
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