2.3. Homologische Algebra (unfertig)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit $1$.

2.3.1. Definition. Ein $R$-Modul $P$ heißt projektiv, falls es zu jedem surjektiven $R$-Homomorphismus $\mu\colon M\twoheadrightarrow M'$ und jedem $R$-Homomorphismus $\phi\colon P\to M'$ eine Hochhebung $\Phi\colon P\to M$ gibt mit $\mu\circ\Phi=\phi$.

2.3.2. Lemma. Äquivalent sind:

1. Ein $R$-Modul $P$ ist projektiv.
2. Der Funktor $\mathrm{Hom}_R(P,-)\colon R\text{-}MOD\to R\text{-}MOD$ ist exakt.
3. Der Modul $P$ ist direkter Summand in einem freien $R$-Modul.

Beweis.

1. $\implies$ ii. Ist $0\to M''\to M\to M'\to0$ kurz exakt, so ist nach Definition der Projektivität die induzierte Sequenz $$0\to \mathrm{Hom}_R(P,M'')\to \mathrm{Hom}_R(P,M)\to \mathrm{Hom}_R(P,M')\to 0$$ exakt an der Stelle $\mathrm{Hom}_R(P,M')$. Exaktheit an den anderen Stellen ist für alle $R$-Moduln, auch nicht-projektive, erfüllt.
2. $\implies$ iii. Es sei $\mu\colon F\twoheadrightarrow P$ eine surjektive Abbildung eines freien Moduls $F$. Anwendung von $\mathrm{Hom}_R(P,-)$ auf die kurz exakte Sequenz $0\to \ker\mu\to F\to P\to 0$ liefert nach Voraussetzung einen Lift $\Psi\colon P\to F$ von $\mathrm{id}_P$ und damit eine Summenzerlegung $F=\ker\mu\oplus \Psi(P)$ mit einem zu $P$ isomorphen Summanden $\Psi(P)$.
3. $\implies$ i. Es seien ein Summand $P\subset F$ eines freien Moduls $F=\oplus_{\ell\in L}R\ell$, eine Surjektion $\mu\colon M\twoheadrightarrow M'$ und eine Abbildung $\phi\colon P\to M'$ vorgegeben. Bezeichne $\pi\colon F\to P$ die Projektion auf den Summanden, so wählen wir zu jedem $\ell\in L$ ein Urbild $m_\ell\in \mu^{-1}\left(\phi\pi(\ell)\right)\subset M$. Die Zuordnung $\ell\mapsto m_\ell$ definiert eine $R$-lineare Hochhebung $\Psi\colon F\to M$ von $\phi\circ\pi$. Die Einschränkung von $\Psi$ auf den Untermodul $P\subset F$ ist dann eine Hochhebung von $\phi$.

qed

2.3.3. Definition. Ein Kettenkomplex $C_*$ mit $C_n=0$ für $n\lt 0$ heißt positiv. Eine projektive Auflösung des $R$-Moduls $M$ ist ein positiver Kettenkomplex $P_*$ mit $P_n$ projektiv für alle $n$, für den gilt $$H_n(P_*)\cong \begin{cases} M&\text{ für }n=0\\0&\text{ sonst.}\end{cases}$$

2.3.4. Lemma. Es sei $C_*$ ein positiver, projektiver Kettenkomplex und $D_*$ ein Kettenkomplex mit $H_k(D_*)=0$ für $k\gt 0$. Dann ist die Zuordnung $$[C_*,D_*]\xrightarrow{H_0(-)} Hom_R\left(H_0(C_*),H_0(D_*)\right),\quad
[f]\mapsto H_0(f), $$ die einer Kettenhomotopieklasse von Kettenabbildungen die induzierte Abbildung in der $0$-ten Homologie zuordnet, bijektiv.

Beweis. tba.
qed