Definition. Ein endlich dimensionaler $K$-Vektorraum $V$, zusammen mit einer Bilinearform $b$ auf $V$, heißt ein Vektorraum mit geometrischer Struktur, falls die folgende Eigenschaft erfüllt ist: Gilt für Vektoren $v,v'\in V$ die Gleichung $b(v, v')= 0$, so gilt auch $b(v', v)= 0$. In einem Vektorraum mit geometrischer Struktur $b$ heißen zwei Vektoren $v,v'\in V$ zueinander orthogonal, im Zeichen $v\perp v'$, wenn gilt $b(v, v')=0$.
Satz. Geometrische Strukturen auf Vektorräumen sind symmetrisch oder schiefsymmetrisch.
Beweis. Es sei $b$ eine geometrische Struktur auf $V$. Wir zeigen:
- Ist $b$ nicht symmetrisch, so gilt $b(v, v)= 0$ für alle $v\in V$.
- Gilt $b(v, v)=0$ für alle $v\in V$, so ist $b$ schiefsymmetrisch.
Der einfacheren Notation halber benutzen wir im Rest des Beweises die Abkürzung \[v*w:=b(v, w).\]
- Wir nehmen an, $b$ sei nicht symmetrisch. Dann gibt es Vektoren $u, w \in V$ mit $u*w\ne w *u.$ Aus der Gleichung
$$
u*((u* w)u - (u* u) w\big)= (u* w)(u*u)-(u*u)(u*w)=0
$$ folgt, da $b$ geometrische Struktur ist,
$$
0= \big((u* w) u - (u* u)w\big)*u= \big( (u* w)- (w*u)\big) (u*u).$$ Aus unserer Annahme folgt $u* u=0$. Analog gilt natürlich auch $w*w=0$.Sei nun $v\in V$ beliebig. Gilt $u* v \ne v* u$ oder $w*v\ne v*w$ so liefert uns das soeben ausgeführte Argument $v* v=0$ und damit die Behauptung. Andernfalls gilt sowohl $u* v=v* u$ als auch $w*v=v*w$. In diesem Fall betrachten wir den Ausdruck
$$u*\big((u*v) w-(u* w) v\big)=
(u*v)(u*w)-(u*w)(u*v)=0.$$ Da wir es mit einer geometrischen Struktur zu tun haben, gilt auch
\[
\big((u*v)w-(u*w) v\big)* u =0\] und damit \[(u*v) (w*u)=(u*w) (v*u).\] Wegen $u\ast w\not= w\ast u$ und der Annahme $u*v=v*u$ kann diese Gleichung nur erfüllt sein, wenn gilt $u*v= v *u=0$. Vertauschen wir $u$ und $w$ in diesem Argument, so erhalten wir analog $w*v=v*w=0$. Daraus folgern wir
$$
(u+v)*w= u*w \ne w* u = w*(u + v)
$$ und können nun wieder das erste Argument anwenden mit der Konsequenz
\[
0=(u+v)*(u+v)= u*u+u*v+v *u+v*v=v*v.
\] - Gilt $v*v=0$ für alle $v\in V$, so gilt für $v, w \in V$ auch
\[
0=(v+w)*(v+w)=v*v+v*w+w*v+w*w= v*w + w*v,\] also
\[v*w= -w*v.\]
qed
Ist $U\subset V$ ein linearer Unterraum eines Vektorraums mit geometrischer Struktur, so bildet die Menge $U^\perp$ der zu allen Elementen von $U$ orthogonalen Vektoren einen linearen Unterraum von $V$.
Dualitätssatz. Sei $b$ eine reguläre geometrische Struktur auf einem endlich dimensionalen Vektorraum $V$ und $U\subset V$ ein linearer Untervektorraum. Dann gilt:
- $\dim U + \dim U^{\perp} = \dim V$.
- $U=\big(U^{\perp}\big)^{\perp}$.
Beweis. Für einen fixierten Vektor $v\in V$ ist die Abbildung
\[b(v,\;.\;):V\to K,\qquad v'\mapsto b(v,v')\] eine Linearform auf $V$. Die zur Inklusion $i\colon U\to V$ duale Abbildung $i^*\colon V^*\to U^*$ ist surjektiv. Nach Voraussetzung ist die Abbildung
\begin{align*}
\tau\colon V&\to V^*\\
v&\mapsto b( v,\;.\;)
\end{align*} bijektiv und damit die Abbildung
$$
i^*\circ \tau\colon V\to U^* \text { surjektiv }.
$$ Der Kern dieser Abbildung ist $U^{\perp}$. Die erste Aussage folgt also aus dem Dimensionssatz. Die zweite Aussage folgt aus der Inklusion $U\subset (U^{\perp})^{\perp}$.
qed
Definition. Eine Summe $U_1+\ldots +U_\tau=U$ von Unterräumen eines Vektorraums $(V,b)$ mit geometrischer Struktur heißt orthogonale Summe, falls gilt
- $U= U_1 \oplus\ldots\oplus U_\tau$
- $U_i \perp U_j$ für alle $i \ne j$.
Definition. Es seien $(V, b)$ und $(W, c)$ $K$-Vektorräume mit geometrischer Struktur. Eine Abbildung $f\colon V\to W$ heißt Isometrie, falls für alle $v, v'\in V$ gilt
\[c\big(f(v), f (v')\big)=
b (v, v').\]
Bemerkung: Die bijektiven Isometrien von $(V, b)$ bilden eine Untergruppe von $Gl_K(V)$.