Symplektische Räume

Definition. Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $b\colon V\times V\to K$ eine Bilinearform mit $b(v, v)=0$ für alle $v\in V$. Dann heißt $(V, b)$ ein Vektorraum mit symplektischer Geometrie oder einfach ein symplektischer Raum.

Beispiele.

1. Die symplektische Ebene $H$ ist der zweidimensionale Vektorraum $K^2$, zusammen mit der durch die folgende Matrix beschriebenen regulären Bilinearform
   $$
   \begin{pmatrix}0&1\\
   -1&0\end{pmatrix}.
   $$
2. Die isotrope Gerade $L$ ist ein eindimensionaler Raum mit der Nullform $b=0$ als Bilinearform.

Der Struktursatz für symplektische Räume lautet:

Satz. Jeder endlich dimensionale symplektische Raum $(V, b)$ besitzt eine orthogonale Zerlegung
$$
V=H_1 \perp\ldots \perp H_m\perp L_1 \perp\ldots \perp L_n
$$ in symplektische Ebenen $H_i$ und isotrope Geraden $L_j$.

Beweis. Der Beweis benutzt Induktion nach der Dimension von $V$. Im Falle $\dim V=1$ gilt $b(v,v)=0$ für einen Basisvektor $v$ und damit ist $V$ notwendig eine isotrope Gerade. Sei nun $\dim V=n$. Ist $b=0$, so ist $V$ orthogonale Summe von $n$ isotropen Geraden. Ansonsten gibt es Vektoren $v, v'\in V$ mit $b(v, v')\ne 0$. Indem wir gegebenenfalls $v$ durch ein Vielfaches seiner selbst ersetzen, können wir annehmen $b(v, v')=1$. Die Vektoren $v$ und $v'$ sind linear unabhängig, denn ansonsten wäre $v'=k v$ für ein $k\in K$ und $b(v, v')=k b(v,v)=0$. Also ist $H_1=\langle v, v'\rangle$ mit der eingeschränkten Bilinearform $b\vert_{H_1}$ eine symplektische Ebene. Wir werden zeigen, dass $V$ isometrisch ist zu der orthogonalen Summe $H_1\perp H_1^\perp$. Dazu muss Zweierlei nachgewiesen werden:

1. Es gilt $H_1 \cap H_1^{\perp}=0$: Sei etwa $w=\lambda v+\mu v'\in H_1\cap H_1^{\perp}$. Da $w$ orthogonal zu $v$ und $v'$ ist, gilt $b(w, v)=0$ und $b(w, v')=0$ und somit \[0=b(w,v)=b(\lambda v+\mu v', v)=\lambda b (v, v)+\mu b(v',v)=-\mu,\\
   0=b(w,v')=b(\lambda v+\mu v',v')=\lambda b(v,v')+\mu b(v',v')=\lambda.\]
2. Die beiden Unterräume erzeugen $V$, also $H_1+H_1^{\perp}= V$: Wegen 1. gilt $\dim H_1^\perp \leq \dim V-\dim H_1=\dim V -2$. Andererseits ist $H_1^\perp$ der Kern der durch die beiden Linearformen $b(\;.\,,v)$ und $b(\;.\,,v')$ beschriebenen linearen Abbildung $V\to K^2$. Daraus folgt $\dim H_1^\perp \geq \dim V-2$. Aus dem Dimensionssatz folgt nun die Behauptung.

qed

Folgerungen.

• Jeder reguläre symplektische Raum ist orthogonale Summe symplektischer Ebenen. Insbesondere ist die Dimension gerade.
• Es bezeichne $I_m$ die $2m\times 2m$-Blockmatrix \[I_m=
  \begin{pmatrix}0& \mathbb I_m \\ -{\mathbb I}_m&0\end{pmatrix}.\] Ist $B$ eine schiefsymmetrische $n\times n$-Matrix, so gibt es eine invertierbare Matrix $T\in G l_K(n)$ mit
  \[
  T^t B T=\begin{pmatrix}I_m&0\\
  0&0\end{pmatrix}.
  \]

Symplektische Räume spielen in der Physik in der Formulierung der Hamiltonschen Mechanik und darauf aufbauend auch in der Quantenmechanik eine wesentliche Rolle.