Es bezeichne $V$ einen Vektorraum über dem Körper $K$.
Definition. Eine Abbildung $q\colon V\to K$ heißt quadratische Form, wenn gilt:
Aus der Definition folgt unmittelbar, dass die Bilinearform $b$ symmetrisch ist. Eine quadratische Form beschreibt Längenquadrate von Vektoren in $V$ in dem Sinne, dass für zueinander senkrecht stehende Vektoren $v,v'$ die Formel des Pythagoras gilt: Aus $b(v,v')=0$ folgt $q(v+v')=q(v)+q(v')$.
Definition. Eine lineare Abbildung $\phi\colon V\to W$ zwischen Vektorräumen versehen mit quadratischen Formen $q$ und $p$ heißt orthogonal, wenn für alle $v\in V$ gilt $p(\phi(v))=q(v)$. Die orthogonalen Automorphismen von $(V,q)$ bilden die orthogonale Gruppe $O(V,q)$.
Eine orthogonale Abbildung ist auch isometrisch, denn bezeichnet $c$ die bilineare Form zur quadratischen Form $p$, so gilt $$c\left(\phi(v),\phi(v')\right)=p\left(\phi(v+v')\right)-p\left(\phi(v)\right)-p\left(\phi(v')\right)=q(v+v')-q(v)-q(v')=b(v,v').$$
Beispiele.
- Sei $A$ eine $n\times n$-Matrix mit Einträgen im Körper $K$. Dann ist durch $$q(x)=x^tAx$$ eine quadratische Form für $x=(x_1,\ldots,x_n)^t\in K^n$ definiert. Die zugehörige symmetrische Bilinearform wird bezüglich der Standardbasis des $K^n$ durch die Matrix $B=A+A^t$ beschrieben.
- Ist die $2$ eine Einheit in $K$, so ist die quadratische Form $q$ aus der zugeordneten symmetrischen Bilinearform rekonstruierbar $q(v)=\frac12 b(v,v)$.
- Es sei $\mathbb F_2$ der Körper mit 2 Elementen. Die durch die Matrizen \[
A=\begin{pmatrix}0&1\\
0&0\end{pmatrix} \text{ und }A'=
\begin{pmatrix}1&1\\
0&1\end{pmatrix}\] wie im ersten Beispiel konstruierten quadratischen Formen $q$ und $q'$ sind verschieden. Die jeweils zugeordneten Bilinearformen $B=A+A^t$ und $B'=A'+(A')^t$ sind jedoch gleich. - Allgemein lässt sich jede quadratische Form zu einer gegebenen geordneten Basis $v_1,\ldots,v_n$ durch eine Matrix $A$ wie im ersten Beispiel darstellen. Man nehme für $A$ die Dreiecksmatrix mit Einträgen $q(v_i)$ in der Diagonalen und Einträgen $\left(q(v_i+v_j)-q(v_i)-q(v_j)\right)$ an der $(i,j)$-ten Stelle für $i\lt j$.
- Ist $A$ die Einheitsmatrix, so beschreibt sie die standard-quadratische Form $$q(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^nx_i^2 .$$
- Die Minkowski-Metrik auf $\mathbb R^4$ wird beschrieben durch die quadratische Form $$q(t,x,y,z)= -(ct)^2 +x^2+y^2+z^2.$$ Sie beschreibt das Abstandsquadrat zweier Punkte im Raum-Zeitkontinuum. Hier steht $t$ für die Zeitkoordinate, $c$ für die Lichtgeschwindigkeit und $x,y,z$ sind Ortskoordinaten. Diese Metrik ist fundamental für die Relativitätstheorie. Ein Vektor $v$ ist raumartig, zeitartig oder lichtartig, je nachdem ob gilt $q(v)\gt 0, q(v)\lt 0$ oder $q(v)=0$.
Wie aus der obigen Diskussion von Beispielen zu ersehen ist, unterscheiden sich die Begriffe symmetrische Bilinearform und quadratische Form nur wenig und das auch nur, wenn die $2$ im betrachteten Körper keine Einheit ist (man sagt, der Körper sei von Charakteristik $2$). Es stellt sich heraus, dass der Begriff der quadratischen Form der mathematisch richtige ist. Das heißt, viele wichtige Sätze über symmetrische Bilinearformen gelten nicht für Körper der Charakteristik 2. Formuliert man sie allerdings geeignet um als Sätze über quadratische Formen, so gelten diese Sätze ohne Einschränkung für alle Körper. Allerdings werden die Beweise häufig drastisch schwieriger. Im Folgenden werde ich, um Aussagen und Beweise einfach zu halten, mich auf symmetrische Bilinearformen beschränken.
Definition. Ist $b:V\times V\to K$ eine symmetrische Bilinearform auf einem Vektorraum $V$ über $K$, so nennen wir $(V,b)$ einen orthogonalen Raum. Ist $b$ regulär, so wird sie Metrik oder symmetrisches inneres Produkt genannt.
Satz. Jeder endlich dimensionale Vektorraum mit symmetrischer Bilinearform besitzt eine orthogonale Zerlegung $$
V=U_1\perp\ldots\perp U_n\perp N,
$$ wo $U_i$ metrische eindimensionale Vektorräume sind und $N$ symplektisch ist.
Ist die $2$ im Grundkörper $K$ invertierbar, so ist eine symmetrische symplektische Form immer die Null-Form.
Beweis. Wir benutzen Induktion über die Dimension von $V$. Beim Induktionsanfang $\dim V=1$ ist nichts zu zeigen. Sei nun $\dim V=n$. Ist $b(v,v)=0$ für alle $v\in V$, so ist $V$ symplektisch. Ansonsten existiert ein $u\in V$ mit $b(u,u)\ne 0$. Der von $u$ aufgespannte Unterraum $U$ ist dann ein regulärer Unterraum von $V$. Wir werden zeigen $$
V=U\perp U^{\perp}.
$$ Es gilt zunächst $U\cap U^\perp=0$, da ein Element $w$ dieses Durchschnitts ein Vielfaches von $u$ ist, also $w=k u$. Da $w$ orthogonal zu $u$ ist, gilt $0=b(w,u)=k b(u,u)$ und damit $k=0$. Ist andererseits $v\in V$, so ist
\[v'=v-\frac{b(v,u)}{b(u,u)}u\] wegen $b(v',u)=0$ ein Element im orthogonalen Komplement $U^\perp$.
qed
Folgerungen. Wir nehmen an, die Charakteristik von $K$ sei ungleich $2$.
- Jeder endlich dimensionale Vektorraum mit symmetrischer Bilinearform besitzt eine Orthogonalbasis $\mathcal{V}$, d.h. eine Basis $\mathcal{V}=(v_1,\ldots,v_n)$ mit $b(v_i, v_j)=0$ für $i\ne j$. Bezüglich einer Orthogonalbasis wird die symmetrische Bilinearform $b$ durch eine Diagonalmatrix beschrieben
$$diag(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)=
\begin{pmatrix}\lambda_1& & 0\\
& \ddots&\\
0 & & \lambda_n
\end{pmatrix}.
$$ - Jede symmetrische $n\times n$-Matrix ist kongruent zu einer Diagonalmatrix. Das heißt, ist $B$ eine solche symmetrische Matrix, so gibt es eine invertierbare $n\times n$-Matrix $T$ mit
$$
T^t B T=
diag(\lambda_1,\ldots,\lambda_n).
$$
Die Einträge in diesen Diagonalmatrizen sind nicht eindeutig bestimmt durch die Bilinearform. Ersetzt man zum Beispiel die Elemente $v_i$ einer Orthogonalbasis mit $q(v_i)=\lambda_i$ durch Vielfaches $v_i'=\alpha_i v_i$ ihrer selbst, so wird die Bilinearform bezüglich der neuen Orthogonalbasis ${\mathcal V}'$ beschrieben durch die Diagonalmatrix $diag(\alpha_1^2\lambda_1,\ldots,\alpha_n^2\lambda_n).$ Im Falle von reellen oder komplexen Vektorräumen erhält man:
- Jeder endlich dimensionale orthogonale $\mathbb{C}$-Vektorraum besitzt eine orthogonale Basis $\mathcal{V}'=(v'_1\ldots,v'_n)$ mit $b(v'_i,v'_i)\in \{0,1\}$. Dazu wähle man im Falle $\lambda_i\not=0$ für $\alpha_i$ eine komplexe Zahl mit Quadrat $\alpha_i^2=\lambda_i^{-1}$. Zu jeder symmetrischen $n\times n$-Matrix über $\mathbb{C}$ gibt es somit eine invertierbare $n\times n$-Matrix $T$ mit
\[
T^t B T=diag(1,\ldots,1,0,\ldots,0).\] - Im Falle von reellen symmetrischen Bilinearformen nehmen wir $\alpha_i=\sqrt{|\lambda_i|}^{-1}$ und erhalten eine Orthogonalbasis $\mathcal{V}$ mit $b(v_i, v_i)\in \{0,1,-1\}$. Zu jeder symmetrischen, reellen $n\times n$-Matrix gibt es folglich eine invertierbare $n\times n$-Matrix $T$ mit
\[
T^t B T=diag(1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0).\]
Definition Sei $b$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$ und es gebe eine orthogonale Zerlegung $V=U\perp W$. Eine Spiegelung an $(U,W)$ ist die lineare Abbildung $s:V\to V$, definiert durch $s(u+w)=u-w$.
Offensichtlich ist $s\circ s=\mathrm{id}_V$. Außerdem ist $s$ orthogonal, denn $$b\left(s(u+w), s(u'+w')\right)=b\left(s(u),s(u')\right)+b\left(s(w),s(w')\right)=b(u,u')+b(w,w')=b(u+w,u'+w').$$
Lemma. Sei $2$ in $K$ invertierbar und $b$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Sind $u,w\in V$ Elemente so dass $$b(u,u)=b(w,w)$$ in $K$ invertierbar sind, so gibt es eine Spiegelung von $V$, die $u$ auf $w$ abbildet.
Beweis. Die zwei Vektoren $x=\frac12(u+w)$ und $y=\frac12(u-w)$ sind zueinander orthogonal und es gilt $$b(u,u)=b(x,x)+b(y,y).$$ Zumindest einer der Summanden ist ungleich Null. Ist $b(x,x)$ nicht Null, so zerfällt $$V=\langle x\rangle \perp \langle x\rangle^\perp$$ und die Spiegelung an $\left( \langle x\rangle,\langle x\rangle^\perp\right)$ bildet $u=x+y$ ab auf $w=x-y$. Andernfalls ist $b(y,y)$ nicht Null und die Spiegelung an $\left( \langle y\rangle^\perp,\langle y\rangle\right)$ bildet $u$ auf $w$ ab.
qed
Korollar. Sei $2$ in $K$ invertierbar und $V$ metrisch der Dimension $n$. Jeder orthogonale Automorphismus $\phi$ ist Produkt von $n$ Spiegelungen.
Beweis. Es gibt eine orthogonale Basis $v_1,\ldots ,v_n$ von $V$. Wir wählen eine Spiegelung $s_1$, die $\phi(v_1)$ auf $v_1$ abbildet. Dann fixiert $s_1\phi$ den Vektor $v_1$ und bildet das $n-1$-dimensionale orthogonale Komplement $v_1^\perp$ in sich ab. Nach Induktion ist die auf $v_1^\perp$ eingeschränkte Abbildung $s_1\phi$ Produkt von $n-1$ Spiegelungen $s_2\cdots s_n$. Wir können die Spiegelungen $s_i$ auf $V$ fortsetzen durch $s_i(v_1)=v_1$ für $i\gt 1$ und erhalten $\phi=s_1\cdots s_n$.
qed
Kürzungssatz von Witt. Es seien $U,V,W$ endlich dimensionale symmetrische innere Produkträume über einem Körper der Charakteristik ungleich $2$. Gilt $U\perp V\cong U\perp W$, so gilt auch $V\cong W$.
Beweis. Da $U$ eine othogonale Summe von inneren Produkträumen der Dimension 1 ist, reicht es, den Satz zu beweisen, wenn $\dim U=1$ gilt. Sei $u$ eine Basis von $U$ und $f:U\perp V\to U\perp W$ eine Isometrie. Der Klarheit wegen bezeichnen wir mit $0_U,0_V$ und $0_W$ die Nullelemente in $U,V$ und $W$. Die beiden Elemente $f(u+0_V)$ und $u+0_W$ erfüllen die Voraussetzungen des Lemmas. Also gibt es eine Spiegelung $s$ von $U\perp W$, welche $f(u+0_V)$ auf $u+0_W$ abbildet. Der Isomorphismus $$sf:U\perp V\to U\perp W$$ bildet $u+0_V$ ab auf $u+0_W$ und bildet folglich auch die orthogonalen Komplemente isomorph aufeinander ab.
qed
Der Kürzungssatz ist definitiv falsch in Charakeristik 2. Dazu betrachten wir über $\mathbb F_2$ die durch die Matrizen $$B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\
0&0&1\end{pmatrix}\text{ sowie } C=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\
0&1&0\end{pmatrix}$$ beschriebenen Bilinearformen. Sie sind isomorph, da mit $$D=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\
1&1&1\end{pmatrix}$$ gilt $$C=D^tBD.$$ Die durch $$B'=\begin{pmatrix}1&0\\0&1
\end{pmatrix}\text{ sowie } C'=\begin{pmatrix}0&1\\
1&0\end{pmatrix}$$ beschriebenen Bilinearformen sind aber nicht isomorph. Denn $C'$ beschreibt eine symplektische Form, $B'$ jedoch nicht.
Bemerkung. Der Kürzungssatz von Witt gilt allgemein für quadratische Formen über beliebigen Körpern.