Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$. Für $n\ge 0$ bezeichnen wir mit $T_nV=V\otimes\ldots\otimes V$ das $n$-fache Tensorprodukt von $V$ mit sich selbst. Dabei setzen wir $T_0=K$. All diese Tensorprodukte fassen wir in einer direkten Summe zusammen:
\[T_.V:=\oplus_{n=0}^\infty T_nV.\] Die Assoziativität des Tensorprodukts liefert eine bilineare Abbildung
\[T_nV\times T_mV\to T_{n+m}V,\] die auch assoziativ ist. Dies erlaubt es, auf $T_.V$ eine assoziative und distributive Multiplikation zu definieren.
Definition. Eine $K$-Algebra ist ein $K$-Vektorraum $A$, zusammen mit einer $K$-bilinearen Abbildung $\beta\colon A\times A\to A$.
In dieser Vorlesung werden wir uns vornehmlich mit dem Spezialfall auseinandersetzen, in dem $A$, zusammen mit der Vektorraumaddition und dieser bilinearen Abbildung als Multiplikation, einen Ring bildet (man nennt eine solche Algebra eine assoziative Algebra mit Eins). Wir schreiben dann statt $\beta(a,b)$ lieber $a\cdot b$. Ein Homomorphismus $\psi\colon A\to B$ solcher $K$-Algebren ist eine $K$-lineare Abbildung, die auch Ringhomomorphismus ist (also $\psi(a\cdot a')=\psi(a)\cdot \psi(a')$ erfüllt für $a,a'\in A$).
Die Tensoralgebra $T_.V$ ist also eine assoziative, aber nicht kommutative $K$-Algebra mit Eins. Ist der $K$-Vektorraum $V$ endlich dimensional und $v_1,\ldots,v_n$ eine Basis, dann bilden die (nicht kommutativen) Monome
\[ v_{i_1}\otimes \ldots\otimes v_{i_r},\,\,\,1\leq i_k\leq
n,\] eine Basis von $T_rV$ und jedes Element von $T_.V$ ist eine Linearkombination solcher Monome. Ist $A$ eine beliebige assoziative $K$-Algebra mit Eins und sind $a_1,\ldots,a_n\in A$, so gibt es einen eindeutig bestimmten Algebrenhomomorphismus $\psi: T_.V\to A$ mit $\psi(v_i)=a_i$. Ein Monom $v_{i_1}\otimes\ldots\otimes v_{i_r}$ wird durch $\psi$ abgebildet auf das Produkt $a_{i_1}\cdot\ldots\cdot a_{i_r}$. Auf diese Weise kann jede assoziative $K$-Algebra mit Eins als Quotient einer Tensoralgebra betrachtet werden.
Beispiel: Ist $V$ eindimensionaler Vektorraum und $v\in V\setminus \{0\}$, so liefert die Zuordnung $v\mapsto t$ einen Algebrenhomomorphismus $\psi:T_.V\to K[t]$ in den Polynomring in einer Variablen. Das Basiselement $v\otimes\ldots\otimes v$ von $T_rV$ wird durch $\psi$ auf $t^r$ abgebildet. Die Abbildung $\psi$ hat ein offensichtliches Inverses und ist folglich ein Isomorphismus.
Ist $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum, so kann $T_.V$ in analoger Weise als der Ring der nicht kommutierenden Polynome in $n$ Variablen aufgefasst werden.