Es sei $\mathfrak{a}_r\subset T_rV$ der Untervektorraum, der erzeugt wird von Tensoren der Form $v_1\otimes \ldots\otimes v_r$ mit $v_i=v_j$ für ein Paar $(i,j)$ von Indizes mit $i\not= j$. Der Quotientenvektorraum
\[\Lambda_r V=T_rV/\mathfrak{a}_r\] heißt $r$-tes äußeres Produkt von $V$. Die Komposition
\[V^r\to T_rV\to T_rV/\mathfrak{a}_r=\Lambda_r V \] der definierenden Abbildung des Tensorprodukts mit der Quotientenabbildung nennt man kanonische Abbildung. Das Bild eines Elementes $(v_1,\ldots,v_r)$ wird mit $v_1\wedge\ldots\wedge v_r$ bezeichnet; es ist auch das Bild des Tensors $v_1\otimes\ldots\otimes v_r$ unter der Quotientenabbildung.
Die kanonische Abbildung $V^r\to \Lambda_r V$ ist $r$-linear und alternierend, da Elemente $(v_1,\ldots,v_r)$ mit $v_i=v_j$ für ein Paar $i\not= j$ von Indizes auf Null abgebildet werden. Mehr noch faktorisiert jede alternierende, multilineare Abbildung von $V^r$ in einen Vektorraum über die oben spezifizierte kanonische Abbildung. Insbesondere ist der Raum der alternierenden $r$-Formen aus dem ersten Semester der Dualraum des $r$-ten äußeren Produktes
\[Alt^r(V)=Hom(\Lambda_rV,K)=(\Lambda_rV)^*.\] Wie schon bei der Tensoralgebra, können wir die direkte Summe \[\wedge V=\oplus_{r=0}^\infty \Lambda_r V,\] die sogenannte äußere Algebra, betrachten. Die multiplikative Struktur kommt von derjenigen der Tensoralgebra: Wir betrachten die durch das Tensorprodukt definierte bilineare Abbildung \[T_rV\times T_s V\to T_{r+s} V.\] Diese bildet den Unterraum $\frak{a}_r\times T_sV$, wie auch den Unterraum $T_rV\times \frak{a}_s$, nach $\frak{a}_{r+s}$ ab. Folglich erhalten wir eine bilineare Abbildung \[\Lambda_rV\times \Lambda_s V\to \Lambda_{r+s}V\] der Quotientenräume. Die Assoziativität der Tensoralgebra vererbt sich auf die derart konstruierte Quotientenalgebra.
Proposition. Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$. Falls gilt $r>n$, so ist $\Lambda_rV=0$. Bilden die Vektoren $v_1,\ldots,v_n$ eine Basis von $V$, so bilden die Vektoren $v_{i_1}\wedge \ldots\wedge v_{i_r}$ mit $i_1 < \ldots < i_r$ eine Basis von $\Lambda_r V$. Insbesondere gilt \[dim(\Lambda_rV)={n\choose r}.\]
Beweis. Jedes Element von $V$ ist Linearkombination der $v_i$. Multilinearität und die Formel $x\wedge y=-y\wedge x$ benutzend sehen wir, dass Elemente der Form
\[v_{i_1}\wedge\ldots\wedge v_{i_r} \,\quad\text{mit}\,\quad 1\leq i_1 < \ldots < i_r\leq n\] den Vektorraum $\Lambda_rV$ erzeugen. Ist $r > n$, so gibt es kein solches $r$-Tupel von ganzzahligen, strikt geordneten Indizes zwischen $1$ und $n$. Ist $r=n$, so wissen wir aus der Definition der Determinante, dass der Dualraum $Alt^n(V)$ eindimensional ist. Folglich ist auch $\Lambda_nV $ eindimensional, erzeugt von $v_1\wedge\ldots\wedge v_n$.
Ist schließlich $r < n$, so bleibt die lineare Unabhängigkeit der $n\choose r$ oben beschriebenen Elemente von $\Lambda_rV$ zu zeigen. Sei dazu
\[0=\sum\lambda_{(i)}v_{i_1}\wedge\ldots\wedge v_{i_r}\] eine Relation. Wählen wir ein in der Summe auftretendes $r$-Tupel $(j)=(j_1,\ldots,j_r)$ mit $j_1 < \ldots < j_r$, so seien $k_{r+1} < \ldots < k_n$ die nicht unter $(j_1,\ldots,j_r)$ auftauchenden Indizes. Wir nehmen nun das alternierende Produkt mit $v_{k_{r+1}}\wedge\ldots\wedge v_{k_n}$. Dann haben wir jeweils alternierende Produkte mit doppelt vorkommenden Faktoren in jedem der Summanden außer in dem $(j)$-ten Term. Folglich erhalten wir die Relation
\[0=\lambda_{(j)}\,v_{j_1}\wedge\ldots\wedge v_{j_r}\wedge v_{k_{r+1}}\wedge\ldots\wedge v_{k_n}.\] Das Umordnen von $v_{j_1}\wedge\ldots\wedge v_{k_n}$ zu $v_1\wedge\ldots\wedge v_n$ ändert höchstens das Vorzeichen. Folglich muss gelten $\lambda_{(j)}=0$.
qed