1.3. Abgeleitete Begriffe

1.3.1. Definition. Eine Teilmenge $A$ eines topologischen Raumes $X$ heißt abgeschlossen, falls das Komplement $X\setminus A$ offen ist.

Für die Komplement-Bildung gelten die de Morganschen Regeln:

• Das Komplement der Vereinigung ist der Durchschnit der Komplemente.
• Das Komplement des Durchschnitts ist die Vereinigung der Komplemente.

Aus den Axiomen einer Topologie folgt somit:

1. Ein Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
2. Eine Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
3. Sowohl die leere Menge $\emptyset$, als auch $X$ sind abgeschlossen.

1.3.2. Definition. Es sei $X$ ein topologischer Raum und $M\subset X$ eine Teilmenge.

• Der Abschluss $\overline{M}$, auch abgeschlossene Hülle genannt, ist der Durchschnitt aller $M$ enthaltenden abgeschlossenen Mengen.
• Die Vereinigung aller in $M$ enthaltenen offenen Mengen bildet den offenen Kern $\mathring{M}$.
• Die Differenz der beiden Mengen bildet den Rand $\partial M:=\overline{M}\setminus\mathring{M}$.
• Gilt $\overline{M}=X$, so nennt man $M$ dicht.

Zum Beispiel gilt $\mathbb R=\overline{\mathbb Q}=\partial\mathbb Q$ und $\partial (a,b)=\partial [a,b]=\{a,b\}$.

1.3.3. Definition. Eine stetige Abbildung $f\colon X\to Y$ heißt

• offen, falls das Bild einer jeden offenen Menge jeweils wieder offen in $Y$ ist,
• abgeschlossen, falls die Bilder aller abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind,
• topologisch oder ein Homöomorphismus, wenn sie bijektiv ist und die Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.

1.3.4. Beispiele

• Ein Homöomorphismus ist sowohl offen als auch abgeschlossen.
• Die konstante Abbildung $\mathbb R\to \mathbb R, x\mapsto 0$ ist abgeschlossen, nicht offen.
• Die Projektion $p\colon \mathbb R^2\to \mathbb R, (x,y)\mapsto x$ ist offen, aber nicht abgeschlossen.
  • offen: Ist $V\subset \mathbb R^2$ offen, so existiert zu $v=(v_1,v_2)\in V$ jeweils ein $\varepsilon_v$ mit $\left(v_1-\varepsilon_v,v_1+\varepsilon_v\right)\times \{v_2\}\subset V$. Folglich ist das Bild von $V$ die Vereinigung $p(V)=\cup_{v\in V}\left(v_1-\varepsilon_v,v_1+\varepsilon_v\right)$ offener Intervalle, also offen.
  • Die Hyperbel $H:=\{(x,y)\mid x\cdot y=1\}\subset \mathbb R^2$ ist abgeschlossen, aber das Bild $p(H)=\mathbb R\setminus \{0\}$ ist nicht abgeschlossen.
• Die Abbildung $\mathbb R\to \mathbb R; x\mapsto \frac1{1+x^2}$ ist weder offen noch abgeschlossen.