Es sei $p\colon X\to B$ eine Überlagerung.
7.1.1. Satz. Die Diagonale $D\subset X\times X$ ist offen und abgeschlossen in $X\times_B X$.
Beweis. Ist $U_x$ eine offene Umgebung von $X$, welche durch $p$ homöomorph abgebildet wird. Dann ist $U_x\times_B U_x$ enthalten in $D$ und eine offene Umgebung von $(x,x)$ in $X\times_B X$. Folglich ist $D$ offen.
Sind $x\not=x'$ Punkte in $X$ mit $p(x)=p(x')$ und $U_x$ und $U_{x'}$ die Blätter von $p$ über der offenen Menge $U\subset B$, so ist $U_x\cap U_{x'}=\emptyset$. Folglich ist $\left(X\times_B X\right)\cap \left(U_x\times U_{x'}\right)$ eine offene Umgebung von $(x,x')$ in $X\times_B X$, welche disjunkt zu $D$ ist. Folglich ist auch das Komplement $\left(X\times_B X\right)\setminus D$ offen.
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7.1.2. Eindeutigkeit von Hochhebungen. Es sei $p\colon X\to B$ eine Überlagerung und $Z$ ein zusammenhängender topologischer Raum. Dann stimmen je zwei Abbildungen $F,F'\colon Z\to X$ mit $pF=pF'$ überein, wenn sie in einem Punkt übereinstimmen.
Beweis. Das Urbild $f^{-1}(D)\subset Z$ der Abbildung $f=F\times_BF'\colon Z\to X\times_B X$ ist nach Voraussetzung nicht leer und wegen 7.1.1. offen und abgeschlossen. Folglich gilt $f^{-1}(D)=Z.$
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7.1.3. Definition. Eine Abbildung $p\colon E\to B$ hat die Homotopie-Hochhebungs-Eigenschaft (HHE) für den Raum $Z$, wenn gilt: Für jede Homotopie $h\colon I\times Z\to B$ und jede Abbildung $a\colon \{0\}\times Z\to E$ mit $pa=hi$, wo $i\colon \{0\}\times Z\to I\times Z$ die Einbettung ist, existiert eine Homotopie $H\colon I\times Z\to E$ mit $pH=h$ und $Hi=a$. Man nennt $H$ eine Hochhebung von $h$ zum Anfangswert $a$. Die Abbildung $p$ heißt Faserung, wenn sie die HHE für alle Räume $Z$ besitzt.
7.1.4. Beispiel. Die Projektion eines Produkts auf einen Faktor $p=pr_B\colon E=B\times F\to B$ ist immer eine Faserung. Eine Anfangsbedingung $a\colon \{0\}\times Z\to E$ zerfällt in Faktoren $a=(a_B,a_F)=\left(pr_B\circ a,pr_F\circ a\right)$. Die Bedingung $pa=hi$ besagt $a_B(z)=h(0,z)$ für $z\ in Z$. Die Vorschrift $$H(t,z):= \left(h(t,z), a_F(z)\right)$$ beschreibt dann eine Hochhebung von $h$ zum Anfangswert $a$.
7.1.5. Existenz von Hochhebungen. Eine Überlagerung $p\colon X\to B$ ist eine Faserung.
Beweis. Es seien eine Homotopie $h\colon I\times Z\to B$ und eine Anfangsbedingung $a\colon \{0\}\times Z\to X$ mit $pa=hi$ gegeben. Da $I$ zusammenhängend ist, ist eine Hochhebung zu gegebener Anfangsbedingung wegen 7.1.2 eindeutig bestimmt. Es reicht, für jedes $z\in Z$ eine offene Umgebung $V_z$ zu finden, so dass $h|_{I\times V_z}$ eine Hochhebung zur Anfangsbedingung $a|_{\{0\}\times V_z}$ zulässt. Wegen der Eindeutigkeit 7.1.2 fügen sich diese teilweisen Hochhebungen zu einer wohldefinierten stetigen Abbildung zusammen.
Es sei $\mathfrak U$ die Menge der offenen, die Überlagerung trivialisierenden Teilmengen von $B$ und $h^{-1}\mathfrak U$ die durch $h$ induzierte offene Überdeckung von $I\times Z$. Für jedes $z\in Z$ existiert eine offene Umgebung $V_z$ und ein $n=n(z)\in \mathbb N$ so dass für $0\le i\lt n$ die Menge $[i/n,(i+1)/n]\times V_z$ ganz in einer offenen Menge $h^{-1}(U)$ aus $h^{-1}\mathfrak U$ enthalten ist. Da $p\colon p^{-1}(U) \to U$ als Produkt $U\times F$ mit einer diskreten Menge $F$ nach 7.1.4 eine Faserung ist, lässt sich $h|_{[i/n,(i+1)/n]\times V_z}$ zu jeder Anfangsbedingung hochheben. Deshalb finden wir rekursiv über $i$ eine Hochhebung von $h|_{[0,i/n]\times V_z}$ zur gegebenen Anfangsbedingung $a|_{\{0\}\times V_z}$.
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7.1.6. Korollar. Es sei $p\colon X\to B$ eine Überlagerung. Dann ist der Funktor $$p_*\colon \Pi(X)\to \Pi(B)$$ injektiv auf den Morphismenmengen zwischen gegebenen Objekten.
Beweis. Sind $w$ und $w'$ Wege in $X$ zwischen vorgegebenen Punkten, so dass $p\circ w$ und $p\circ w'$ homotop relativ zu den Endpunkten sind. Dann kann die Homotopie wegen der HHE hochgehoben werden zu einer Homotopie von $w$ zu einer Hochhebung von $p\circ w'$. Die Endpunkte sind hierbei fixiert, da es keine nicht konstanten Wege in den Fasern über den Endpunkten gibt. Wegen der Eindeutigkeit muss die Hochhebung von $p\circ w'$ mit $w'$ übereinstimmen.
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