Es sei S eine reguläre Fläche und $s\in S$ ein Punkt. Zu jedem Tangentialvektor $\xi\in T_{s}S$ existiert ein auf einer offenen Umgebung der $0$ in $\mathbb R$ definierte Geodäte $c_\xi$ mit $c_\xi(0)=s$ und $\dot{c}_\xi(0)=\xi$. Es bezeichne $U_{s}\subset T_{s}S$ die Teilmenge aller Tangentialvektoren $\xi$, für die $c_\xi$ ist auf dem Intervall $[0,1]$ definiert ist.
9.2.1 Definition. Die Abbildung $$\exp_{s}:U_{s}\to S,\;\;\xi\mapsto c_{\xi}\left(1\right)$$ heißt riemannsche Exponentialabbildung im Punkt $s$.
9.2.2. Satz. Die Teilmenge $U_{s}\subset T_{s}S$ ist eine sternförmige Umgebung der Null. Das Differential der Abbildung $\exp_{s}$ im Punkt $0$ ist gegeben durch den kanonischen Isomorphismus $T_{0}\left(T_{s}S\right)\to T_{s}S$. Insbesondere werden durch $\exp_s$ für genügend kleine $\varepsilon \gt 0$ die $\varepsilon$-Bälle um die $0\in T_sS$ diffeomorph auf $\varepsilon$-Bälle um $s\in S$ abgebildet.
Beweis. Es gilt $$\exp_{s}\left(t\cdot\xi\right)=c_{t\xi}\left(1\right)=c_{\xi}\left(t\right),$$ sofern die einzelnen Terme definiert sind. Dies folgt aus der Tatsache, dass eine Geodäte $c_{\xi}$ proportional zur Bogenlänge parametrisiert ist mit Proportionalitätsfaktor $\|\xi\|$. Es gilt $\exp_{s}\left(0\right)=s$. Ist $\xi\in U_{s}$, so ist die Geodäte $c_{\xi}$ auf dem Intervall $[0,1]$ definiert. Ist $0\lt\alpha\le1$, so ist wegen $$c_{\alpha\xi}\left(t\right)=c_{\xi}\left(\alpha t\right)$$ die Geodäte $c_{\alpha\xi}$ auf dem Intervall $[0,\frac{1}{\alpha}]$ und damit insbesondere auf dem Intervall $[0,1]$ definiert. Damit gilt $\alpha\xi\in U_{s}$. Folglich ist $U_{s}$ sternförmig bezüglich $0$.
Zur Berechnung des Differentials berechnen wir die Richtungsableitung in Richtung $\xi\in T_sS$ $$\partial\exp_{s}\left(\xi\right)=\frac{d}{dt}\left(\exp_{s}\left(t\xi\right)\right)|_{t=0}=\frac{d}{dt}\left(c_{t\xi}\left(1\right)\right)|_{t=0}=\frac{d}{dt}\left(c_{\xi}\left(t\right)\right)|_{t=0}=\xi.$$ Nach dem Satz über die Ümkehrfunktion ist $\exp_{s}$ also ein lokaler Diffeomorphismus bei $0$.
qed
9.2.3. Definition. Bildend die Tangentialvektoren $\xi_{1,}\xi_{2}\in T_{s}S$ eine Orthonormalbasis, so nennt man die Zuordnung $$\left(u^{1},u^{2}\right)\mapsto\exp_{s}\left(u^{1}\xi_{1}+u^{2}\xi_{2}\right)$$ eine lokale Parametrisierung durch riemannsche Normalkoordinaten. Die Zuordnung $$\left(r,\phi\right)\mapsto\exp_{s}\left(r\left(\cos\left(\phi\right)\xi_{1}+\sin\left(\phi\right)\xi_{2}\right)\right)$$ heißt lokale Parametrisierung durch geodätische Polarkoordinaten.
Es sei $U\subset \mathbb R^2$ eine offene Umgebung des Ursprungs und $S=\Gamma_f$ der Graph einer glatten Funktion $$f\colon U\to \mathbb R,\quad f(x,y)=\tfrac12\left(k_1x^2 +k_2y^2\right) +O\left(\|(x,y)\|^3\right).$$
9.2.4. Satz. Es sei $\xi\in T_{0}\Gamma_{f}$ der Tangentialvektor $\xi=\left(\cos\left(\varphi\right),\sin\left(\varphi\right),0\right)$. Die Geodäte $c_{\xi}\colon I\to S=\Gamma_f$ hat die Koordinaten $$
c_\xi(t)= \xi t+ f(\xi t)\big(-\tfrac{1}3 \partial f(\xi t), 1\big)+\big(O(t^4),O(t^4),O(t^3)\big).$$ Hier ist $f(\xi t)=\tfrac12\left(k_1\cos^2(\varphi)+k_2\sin^2(\varphi)\right)t^2+O(t^3)=:\tfrac12 A(\xi)t^2+O(t^3)$ der Funktionswert an der Stelle $(\cos\varphi t, \sin\varphi t)$ und $\partial f(\xi t)=(k_1\cos\varphi,k_2\sin\varphi)t+\left(O(t^2),O(t^2)\right)$ die Ableitung.
Beweis. Wir zeigen, dass die angeführte Formel die Geodätengleichung $$\left(\begin{array}{c}
\ddot{x}\\
\ddot{y}\\
\ddot{f}
\end{array}\right)=\frac{f_{xx}\dot{x}\dot{x}+f_{xy}\dot{x}\dot{y}+f_{yx}\dot{y}\dot{x}+f_{yy}\dot{y}\dot{y}}{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}\,\,\,\left(\begin{array}{c}
-f_{x}\\
-f_{y}\\
1
\end{array}\right)$$ aus dem Beweis von 9.1.6 erfüllt. Die linke Seite berechnet sich zu $$\ddot{c}_\xi(t)=\left(\begin{matrix}\ddot{x}\\\ddot{y}\\\ddot{z}\end{matrix}\right)=
A(\xi)\left(\begin{matrix}-k_1\cos(\varphi)t\\-k_2\sin(\varphi)t\\1\end{matrix}\right)
+\left(\begin{matrix}O(t^2)\\O(t^2)\\O(t)\end{matrix}\right).$$ Einsetzen der partiellen Ableitungen von $$\begin{align}
f_{x}\left(x,y\right) &= k_{1}x+O\left(\|\left(x,y\right)\|^{2}\right)=k_1\cos(\varphi)t+O(t^2)\\
f_{y}\left(x,y\right) &= k_{2}y+O\left(\|\left(x,y\right)\|^{2}\right)=k_2\sin(\varphi)t+O(t^2)\\
f_{xx}\left(x,y\right) &= k_{1}+O\left(\|\left(x,y\right)\|\right)=k_1+O(t)\\
f_{yy}\left(x,y\right) &= k_{2}+O\left(\|\left(x,y\right)\|\right)=k_2+O(t)\\
f_{xy}\left(x,y\right) &= O\left(\|\left(x,y\right)\|\right)=O(t)\\
\dot{x}&= \cos(\varphi)+O(t)\\
\dot{y}&= \sin(\varphi)+O(t)
\end{align}$$ resultiert in $$
\frac{f_{xx}\dot{x}^{2}+f_{xy}\dot{x}\dot{y}+f_{yx}\dot{y}\dot{x}+f_{yy}\dot{y}^{2}}{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}=
\frac{\left(k_1\cos^2(\varphi)+k_2\sin^2(\varphi)\right)+O(t)}{1+O(t^2)}
=A(\xi)+O(t).$$ und $$\left(\begin{array}{c}
-f_{x}\\
-f_{y}\\
1
\end{array}\right)=\left(\begin{matrix}-k_1\cos(\varphi)t\\-k_2\sin(\varphi)t\\1\end{matrix}\right)
+\left(\begin{matrix}O(t^2)\\O(t^2)\\0\end{matrix}\right).$$qed