Wir beweisen nun den
9.0.2. Satz von Bertrand und Puiseux. Es sei $C_t(s)$ die Kurve der Punkte in $S$ mit Abstand $t$ von $s$. Dann gilt für die Länge der Kurve die asymptotische Entwicklung $$L\left(C_t(s)\right)= 2\pi t-\tfrac\pi3 K(s)\;t^3+O(t^4).$$
Beweis. Wir berechnen in den geodätischen Polarkoordinaten den Ausdruck $$\sqrt{\left(\tfrac{dx}{d\varphi}\right)^{2}+\left(\tfrac{dy}{d\varphi}\right)^{2}+\left(\tfrac{dz}{d\varphi}\right)^{2}}.$$Es ergibt sich $$\begin{align}\tfrac{dx}{d\varphi} &= \sin\left(\varphi\right)\left(-t+\left(\tfrac{1}{2}\cos^{2}\left(\varphi\right)\left(k_{1}^{2}-k_{1}k_{2}\right)+\tfrac{1}{6}k_{1}k_{2}\right)t^{3}\right)+O\left(t^{4}\right) \\
\tfrac{dy}{d\varphi} &= \cos\left(\varphi\right)\left(t+\left(\tfrac{1}{2}\sin^{2}\left(\varphi\right)\left(-k_{1}^{2}+k_{1}k_{2}\right)-\tfrac{1}{6}k_{1}k_{2}\right)t^{3}\right)+O\left(t^{4}\right)\\
\tfrac{dz}{d\varphi} &= \cos\left(\varphi\right)\sin\left(\varphi\right)\left(-k_{1}+k_{2}\right)t^{2}+O\left(t^{3}\right)\end{align}$$ und daraus die Quadrate $$\begin{align}\left(\tfrac{dx}{d\varphi}\right)^{2} &= \sin^{2}\left(\varphi\right)\left(t^{2}+\left(\cos^{2}\left(\varphi\right)\left(-k_{1}^{2}+k_{1}k_{2}\right)-\tfrac{1}{3}k_{1}k_{2}\right)t^{4}\right)+O\left(t^{5}\right)\\
\left(\tfrac{dy}{d\varphi}\right)^{2} &= \cos^{2}\left(\varphi\right)\left(t^{2}+\left(\sin^{2}\left(\varphi\right)\left(-k_{2}^{2}+k_{1}k_{2}\right)-\tfrac{1}{3}k_{1}k_{2}\right)t^{4}\right)+O\left(t^{5}\right)\\
\left(\tfrac{dz}{d\varphi}\right)^{2} &= \cos^{2}\left(\varphi\right)\sin^{2}\left(\varphi\right)\left(k_{1}^{2}-2k_{1}k_{2}+k_{2}^{2}\right)t^{4}+O\left(t^{5}\right).\end{align}$$ In der Summe vereinfachen sich die Terme $$\left(\frac{dx}{d\varphi}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{d\varphi}\right)^{2}+\left(\frac{dz}{d\varphi}\right)^{2}=t^{2}-\frac{k_{1}k_{2}}{3}t^{4}+\mathcal{O}\left(t^{5}\right).$$ Um die Wurzel zu ziehen, folgern wir aus der Gleichung $$\left(\alpha t+\beta t^{2}+\gamma t^{3}+\mathcal{O}\left(t^{4}\right)\right)^{2}=\alpha^{2}t^{2}+2\alpha\beta t^{3}+\left(\beta^{2}+2\alpha\gamma\right)t^{4}+\mathcal{O}\left(t^{5}\right)$$das Integral $$\begin{align}\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\left(\tfrac{dx}{d\varphi}\right)^{2}+\left(\tfrac{dy}{d\varphi}\right)^{2}+\left(\tfrac{dz}{d\varphi}\right)^{2}}d\varphi &= \int_{0}^{2\pi}t-\tfrac16k_{1}k_{2}t^{3}+O\left(t^{4}\right)d\varphi\\
&= 2\pi t-\tfrac\pi3{k_{1}k_{2}}t^{3}+O\left(t^{4}\right).\end{align}$$ qed