Additive gewöhnliche Homologietheorien sind im Wesentlichen vollständig bestimmt durch den Koeffizientenmodul $h_0(P)$. Folgende Aussage kann man mit den bisher erarbeiteten Methoden beweisen:
1.6.1. Eindeutigkeit. Es seien $h_*$ und $k_*$ gewöhnliche additive Homologietheorien auf der Kategorie der Paare von CW-Komplexen mit Werten in $R-MOD$. Ist $f\colon h_0(P)\to k_0(P)$ ein Homomorphismus von $R$-Moduln, so gibt es eine natürliche Transformation $\omega^f_*\colon h_*\to k_*$ von Homologietheorien mit $\omega_0^f(P)=f$. Ist $f$ ein Isomorphismus, so ist $\omega^f_*$ eine natürliche Äquivalenz von Homologietheorien.
Der Beweis benutzt, dass die Homologie von CW-Komplexen vermittels des zellulären Kettenkomplexes berechnet werden kann. Der Homomorphismus $f$ induziert vermittels der Einhängung Isomorphismen der Homologien $h_*(S^n)$ und $k_*(S^n)$ und folglich zwischen den in den zellulären Kettenkomplexen $h_*\left(X_*,X_{*-1}\right)$ und $k_*\left(X_*,X_{*-1}\right)$ auftauchenden Moduln. Um zu zeigen, dass diese Abbildungen sich mit den jeweiligen Randabbildungen vertragen, benutzt man eine Beobachtung, welche wir schon im Beweis von 1.5.17 kennenlernten: Die Addition in den Homologiegruppen ist auf Raum-Niveau beschrieben durch die Komultiplikation $\nabla\colon S^n\to S^n\vee S^n$. Und weiterhin ist wegen des (in 1.3.6 inoffiziell mitgeteilten) Satzes von Freudenthal jede Abbildung zwischen Sphären gleicher Dimension ein additives Vielfaches der identischen Abbildung. Etwas detailliertere Beweise finden sich in verschiedenen Lehrbüchern (z.B. Lück, 3.5) oder im Originalartikel von Milnor.
Verallgemeinerte Homologietheorien unterscheiden sich von gewöhnlichen hinsichtlich des Dimensionsaxioms. Es gibt viele verschiedene solche, darunter auch geometrisch signifikante und wichtige. Relativ einfach lässt sich die Bordismustheorie skizzieren.
1.6.2. Unorientierter Bordismus. Es sei $X$ ein topologischer Raum. Eine singuläre $n$-Mannigfaltigkeit besteht aus einer geschlossenen, glatten $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $M$, sowie einer stetigen Abbildung $f\colon M\to X$. Zwei solche singuläre Mannigfaltigkeiten $(M_i,f_i)$ heißen bordant, wenn es eine kompakte $(n+1)$-dimensionale Mannigfaltigkeit $W$ mit Rand $\partial W$, einen Diffeomorphismus $u\colon \partial W\cong M_0\sqcup M_1$ und eine Fortsetzung $F\colon W\to X$ der Abbildungen $f_i$ gibt, d.h. es gilt $F\circ u=f_0\sqcup f_1$. Bordismus ist eine Äquivalenzrelation; Transitivität zeigt man durch Zusammenkleben von Bordismen. Disjunkte Summen definieren eine Addition auf der Menge $\mathcal N_n(X)$ der Äquivalenzklassen solcher Objekte. Der Bordismus $M\times [0,1]$ zeigt, dass jedes Element invers zu sich selbst ist. Insbesondere bilden die Mengen $\mathcal N_n(X)$ Vektorräume über dem Körper $\mathbb F_2$ mit zwei Elementen.
Man kann auch relative Bordismengruppen $\mathcal N_n(X,A)$ definieren. Elemente sind Äquivalenzklassen von kompakten glatten Mannigfaltigkeiten $M$ mit Rand $\partial M$, sowie Abbildungen $f\colon M\to X$ mit $f\left(\partial M\right)\subset A$. Die Bordismusrelation muss natürlich entsprechend modifiziert werden. Eine stetige Abbildung $g\colon (X,A)\to (Y,B)$ induziert durch Komposition $(M,f)\mapsto (M,gf)$ einen Vektorraum-Homomorphismus $\mathcal N_n(X,A)\to \mathcal N_n(Y,B)$. Homotopieinvarianz und die Existenz langer exakter Sequenzen sind sehr leicht einzusehen. Das Ausschneidungsaxiom beweist man mit Hilfe von Transversalität und einem Satz von Sard. Additivität ist offensichtlich.
Damit ist die unorientierte Bordismustheorie $\mathcal N_*$ eine verallgemeinerte additive Homologietheorie. Die Bordismusgruppen eines einpunktigen Raumes $P$ können vermittels des kartesischen Produktes $(M_0,M_1)\mapsto M_0\times M_1$ mit einer multiplikativen Struktur versehen werden. Damit erhält $\mathcal N_*(P)$ die Struktur einer graduierten $\mathbb F_2$-Algebra. Diese Algebra lässt sich nach einem Satz von Dold mit einer Polynomalgebra $$\mathcal N_*(P)\cong \mathbb F_2[x_2,x_4,x_5,x_6,\ldots ]$$ identifizieren, welche je einen Erzeuger $x_n$ in jeder Dimension $n\in \mathbb N\setminus \{2^k-1\mid k\in \mathbb N\}$ besitzt. Die Erzeuger $x_{2^k}$ werden jeweils durch projektive Räume der entsprechenden Dimension repräsentiert. Die Konstruktion in anderen Dimensionen ist etwas komplizierter.
1.6.3. Orientierter Bordismus. Betrachtet man orientierte Mannigfaltigkeiten und orientierte Bordismen, so erhält man in analoger Weise die orientierte Bordismentheorie $\Omega_*$. Der orientierte Bordismenring $\Omega_*(P)$ hat eine etwas kompliziertere Struktur. Es würde zu weit führen, diese Struktur vollständig zu beschreiben. Einige wichtige Eigenschaften seien erwähnt. Es bezeichne $T_n\subset \Omega_n(P)$ die Torsionsuntergruppe.
- Modulo der Torsion erhält man einen Polynomring $$\Omega_*(P)/T_* \cong \mathbb Z[x_4,x_8,\ldots]$$ mit Erzeugern in allen durch $4$ teilbaren Dimensionen.
- Ist $\omega\in \Omega_n(P)$ ein Torsionselement, so gilt $2\omega=0$.
- Es gilt $\Omega_n(P)=0$ genau dann, wenn $n\in \{1,2,3,6,7\}$. Schon die ersten Fälle sind interessant.
- Das Verschwinden $\Omega_1(P)=0$ ist einfach. Geschlossene orientierte $1$-Mannigfaltigkeiten sind als disjunkte Vereinigungen von zu $S^1$ isomorphen Mannigfaltigkeiten wegen $S^1=\partial D^2$ nullbordant.
- Eine zusammenhängende $2$-dimensionale orientierte Mannigfaltigkeit ist Rand eines Henkelkörpers.
- In Dimension 3 ist dies ein Satz von Rokhlin aus dem Jahre 1951.
1.6.4. Weitere Bordismentheorien. Man kann statt glatter Mannigfaltigkeiten auch topologische betrachten oder solche, bei denen die Kartenwechselabbildungen stückweise linear sind, man kann Zusatzstrukturen betrachten. Herauszuheben ist vielleicht der Fall des sogenannten komplexen Bordismus. Der komplexe Bordismusring besitzt eine subtile algebraische Struktur, welche in der Zahlentheorie von großer Bedeutung ist. Nach Quillen ist er nämlich isomorph zum universellen Ring der formalen eindimensionalen Gruppen.
1.6.5. K-Theorie. Für die Geometrie noch sehr wichtig ist die komplexe K-Theorie. Die komplexe K-Homologie $K_*$ ist eine additive Homologietheorie mit Werten in $\mathbb Z$-Moduln. Es gilt $K_{2n+1}(P)=0$ und $K_{2n}(P)\cong \mathbb Z$ für alle $n\in \mathbb Z$. Insbesondere verschwindet diese Homologietheorie in negativen Dimensionen nicht.
1.6.6. Stabile Homotopie. Höhere Homotopiegruppen erfüllen das Ausschneidungsaxiom nicht. Allerdings nur knapp nicht. Der Satz von Seifert und van Kampen zum Beispiel kann als eine nichtkommutative Version der Mayer-Vietoris-Sequenz in niedrigen Dimensionen interpretiert werden. Es stellt sich heraus, dass das Ausschneidungsaxiom durch sogenanntes Stabilisieren erzwungen werden kann. Die daraus gewonnenen stabilen Homotopiegruppen erfüllen die Axiome einer additiven Homologietheorie. Mehr darüber später.