Wieder sei $h^*$ eine Kohomologietheorie mit Werten in $R$-$MOD$. Das Produkt der Raumpaare $(X,A)$ und $(Y,B)$ ist das Raumpaar $$(X,A)\times (Y,B)=\left(X\times Y, X\times B\cup A\times Y\right).$$
2.2.4. Definition. Ein äußeres Produkt, auch Kreuz-Produkt genannt, auf $h^*$ besteht aus einer Familie von $R$-bilinearen Abbildungen $$\begin{aligned}h^m(X,A)\times h^n(Y,B)&\to h^{m+n}\left((X,A)\times(Y,B)\right)\\ (x,y)&\mapsto x\times y \end{aligned}$$ für geeignete Raumpaare $(X,A)$ und $(Y,B)$, insbesondere solchen, für die $(A\times Y\cup X\times B;A\times Y,X\times B)$ ausschneidend bezüglich $h^*$ sind. Es gelten folgende Rechenregeln, welche unten erläutert werden: $$\begin{eqnarray}
(f\times g)^*\left(x\times y\right)&=&\left(f^*x\right) \times \left(g^*y\right)\tag{Natürlichkeit}\\
\left(\delta a\right)\times y&=&\delta'\left(a\times y\right)\tag{Stabilität }\\
x\times \left(\delta b\right)&=&(-1)^{|x|}\delta''\left(x\times b\right)\tag{Stabilität }\\
1\times x&=&x\times 1=x\tag{Eins }\\
\left(x\times y\right)\times z&=&x\times\left(y \times z\right)\tag{Assoziativität }\\
\tau^*(x\times y)&=&(-1)^{|x|\cdot|y|}y\times x\tag{Kommutivität }
\end{eqnarray}$$
2.2.5. Erläuterungen.
- Das Kreuz-Produkt kann äquivalent als $R$-lineare Abbildung $$h^m(X,A)\otimes_R h^n(Y,B)\to h^{m+n}\left((X,A)\times(Y, B)\right)$$ formuliert werden.
- Das Natürlichkeitsaxiom betrachtet das funktorielle Verhalten des Produkts unter stetigen Abbildungen $f\colon (X,A)\to (\widetilde{X},\widetilde{A})$ und $g\colon (Y,B)\to (\widetilde{Y},\widetilde{B})$.
- Ist $\left(A\times Y\cup X\times B;A\times Y,X\times B\right)$ ausschneidende Triade für $h^*$, so wird in der ersten Stabilitätsgleichung die Kommutativität des folgenden Diagramms gefordert: $$
\begin{matrix}h^m(A)\otimes_R h^n(Y,B)&\xrightarrow{\times}h^{m+n}(A\times (Y,B))\xrightarrow{\cong}&h^{m+n}(A\times Y\cup X\times B,X\times B)\\
\scriptstyle{\delta\otimes\mathrm{id}}\downarrow\phantom{\scriptstyle{\delta\otimes\mathrm{id}}}&&\phantom{\scriptstyle{\delta_A}}\downarrow\scriptstyle{\delta'}\\
h^{m+1}(X,A)\otimes_R h^n(Y,B)&
\xrightarrow{\phantom{hierstehtText}\times\phantom{hierstehtText}}
&h^{m+n+1}((X,A)\times (Y,B)).\end{matrix}$$ Zu sehen sind senkrecht Differentiale in langen exakten Kohomologiesequenzen, waagerecht ein Ausschneidungsisomorphismus. Die zweite Stabilitätsgleichung beschreibt die Kommutativität eines analogen Diagramms bis auf einen Faktor $\pm 1$; dieser Faktor garantiert Konsistenz mit der Gleichung zur graduierten Kommutativität. - Es existiert ein Element $1\in h^0(P)$ für den einpunktigen Raum $P$, welches als Eins fungiert. Die Gleichung benutzt die kanonische Identifikation $X\times P\cong X\cong P\times X$.
- Die Assoziativitätsgleichung $\left(x\times y\right)\times z = x\times\left(y\times z\right)$.
- Die Kommutativitätsgleichung $\tau^*(x\times y)=(-1)^{mn}y\times x$ für $x\in h^m(X,A)$ und $y\in h^n(Y,B)$ benutzt die Vertauschungsabbildung $\tau \colon Y\times X\to X\times Y, (y,x)\mapsto (x,y)$.
2.2.6. Bemerkung. Der Begriff Stabilität verweist auf die Kompatibilität des Produktes mit der Einhängung. Dazu bezeichne $e^1\in h^1(I,\partial I)$ das Bild der $1$ unter der Abbildung $$1\in h^0=h^0(0)\xleftarrow{\cong} h^0(\partial I,1)\xrightarrow{\delta}h^1(I,\partial I)\ni e^1.$$ Die kohomologische Einhängung $\sigma\colon h^n(Y,B)\to h^{n+1}\left((I,\partial I)\times (Y,B)\right)$ ist definiert über das kommutierende Diagramm von Isomorphismen: $$\begin{matrix}
h^n(Y,B)&\xrightarrow{\cong}&h^n(0\times Y,0\times B)\\
\scriptstyle{\sigma}\downarrow\phantom{\scriptstyle{\sigma}}&&\phantom{\scriptstyle{\sigma}}\uparrow\scriptstyle{\cong}\\
h^{n+1}\left((I,\partial I)\times (Y,B)\right)&\xleftarrow[\cong]{\delta}&h^n\left(\partial I\times Y\cup I\times B, 1\times Y \cup I\times B\right)
\end{matrix}$$ Die Abbildung auf der rechten Seite ist ein Isomorphismus: Nach Ausschneiden von $1\times Y$ werden die Räume homotopieäquivalent. Ebenso ist das Differential aus der langen exakten Kohomologiesequenz zum Tripel $$(I\times Y, \partial I\times Y\cup I\times B, 1\times Y \cup I\times B)$$ ein Isomorphismus, da die Inklusion $1\times Y\cup I\times B\subset I\times Y$ eine Homotopieäquivalenz ist.
2.2.7. Proposition. Ist die Kohomologietheorie $h^*$ versehen mit einem Kreuzprodukt und ist $y\in h^n(Y,B)$, so gilt $$e^1\times y=\sigma(y).$$
Beweis. Es bezeichne $e^0\in h^0(\partial I)$ das Bild der $1$ unter der durch Ausschneidung und Inklusion induzierten Komposition von Abbildungen $h^0(0)\xrightarrow{\cong}h^0(\partial I,1)\to h^0(\partial I)$. Das kommutierende Diagramm $$\begin{matrix}
h^n(Y,B)&\xrightarrow{e^0\times}&h^n(\partial I\times Y,\partial I\times B)&\xrightarrow{}&h^n(0\times Y,0\times B)\\
\phantom{\scriptstyle{}\downarrow\phantom{\scriptstyle{\sigma}}}&&\phantom{\scriptstyle{\alpha}}\uparrow\scriptstyle{\cong}&&\phantom{\scriptstyle{}}\uparrow\scriptstyle{\cong}\\
h^{n+1}\left((I,\partial I)\times (Y,B)\right)&\xleftarrow{\delta}&h^n(\partial I\times Y\cup I\times B, I\times B) & \xleftarrow{}&h^n\left(\partial I\times Y\cup I\times B, 1\times Y \cup I\times B\right)
\end{matrix}$$ beschreibt eine Abbildung $h^n(Y,B)\to h^{n+1}\left((I,\partial I)\times (Y,B)\right)$ in zwei Weisen: In der Außenkurve erkennt man die soeben beschriebene Einhängungsabbildung $\sigma$. Die Innenkurve beschreibt die Abbildung $y\mapsto\delta'(e^0\times y)$. Mit $\delta (e^0)=e^1$ folgt die Aussage aus dem Stabilitätsaxiom für das Kreuzprodukt.
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2.2.8. Cup-Produkt $\implies$ Kreuz-Produkt. Ist $h^*$ eine Kohomologie-Theorie mit Cup-Produkt, so definiert man ein Kreuz-Produkt wie folgt. Bezeichnen $p\colon (X,A)\times Y\to (X,A)$ und $q\colon X\times (Y,B)\to (Y,B)$ die jeweiligen Projektionen, so setzt man $$x\times y:=\left(p^*x\right)\cup \left(q^*y\right)\in h^*\left((X,A)\times (Y,B)\right).$$
2.2.9. Kreuz-Produkt $\implies$ Cup-Produkt. Ist $h^*$ eine Kohomologie-Theorie mit Kreuz-Produkt, so definiert man umgekehrt ein Cup-Produkt. Bezeichnet nämlich $\Delta\colon (X,A\cup B)\to (X,A)\times (X,B)$ die diagonale Abbildung $x\mapsto (x,x)$, so setzt man $$x\cup x':=\Delta^*(x\times x')\in h^*\left(X,A\cup B\right).$$
Die Axiome des Cup-Produkts implizieren über die Konstruktion 2.2.8 die Axiome des Kreuzproduktes. Die umgekehrte Implikation folgt mittels 2.2.9. Das Ausformulieren und Nachprüfen der entsprechenden Aussagen sei dem geneigten Leser zur Übung anempfohlen.
2.2.10. Proposition. Es sei $h^*$ eine multiplikative Kohomologie-Theorie und es bezeichne $$s=\sigma(1)\in h^n(S^n,\ast)\subset h^n(S^n)$$ die Einhängung der Eins in $h^0$. Ist $F$ ein topologischer Raum, so ist $h^*(F\times S^n)$ ein freier graduierter $h^*(F)$-Linksmodul mit Basis $1_F\times 1_{S^n}$ und $1_F\times s$.
Beweis. Mit $e^n:=e^1\times \cdots\times e^1$ erhalten wir einen Einhängungs-Isomorphismus $$h^{k}(F)\to h^{n+k}\left(I^n\times F,\partial I^n\times F\right),\quad f\to e^n\times f.$$ Das Element $s\in h^n(S^n,*)$ entspricht $e^n$ unter dem von der Identifikationsabbildung $(I^n/\partial I^n,*)\to (S^n,\ast)$ induzierten Isomorphismus $h^n(S^n,*)\cong h^n(I^n/\partial I^n,*)\cong h^n(I^n,\partial I^n)$. Wegen der Natürlichkeit des Kreuz-Produktes ist die Abbildung $$h^{k}(F)\to h^{n+k}(S^n\times F,\ast\times F),\quad f\mapsto s\times f$$ ebenso ein Isomorphismus. Die Sequenz $$0\to h^k(S^n\times F, \ast\times F)\to h^k(S^n\times F)\to h^k(\ast\times F)\to 0$$ ist kurz exakt, da die Projektion $\pi\colon S^n\times F\to F$ auf den zweiten Faktor ein Linksinverses zur Inklusion $F\cong *\times F\hookrightarrow S^n\times F$ ist. Die spaltende Abbildung wird in der Kohomologie beschrieben als ein Kreuzprodukt $$h^k(F)\to h^k(S^n\times F),\quad f\mapsto 1\times f=\pi^*f.$$ Aus der Kommutativität des Kreuzproduktes folgt nun, dass die Abbildung $$(f,f')\mapsto f\times 1_{S^n}+f'\times s$$ einen Isomorphismus von $h^*(F)\oplus h^*(F)$ mit $h^*(S^n\times F)$ beschreibt.
qed