2.3.11. Definition.
Kettenäquivalenzen (=Kettenhomotopieäquivalenzen), Homologieäquivalenz
kontraktible Kettenkomplexe
azyklische Kettenkomplexe
2.3.12. Bemerkung.
- kontraktibel $\iff$ kettenäquivalent zu $0$-Komplex
- azyklisch $\iff$ homologieäquivalent zu $0$-Komple
2.3.13. Definition. Abbildungskegel $Cf$ von Kettenabbildung $f$; Einhängung von Kettenkomplex
2.3.14. Bemerkung. Kurze exakte Sequenz $0\to D_*\to Cf_*\to \Sigma C_*\to 0$ liefert l.e.Homologiesequenz.
Randabbildung gleich der von $f$ induzierten in Homologie. Folglich $Cf_*$ azyklisch $\iff$ $f$ ist Homologieäquivalenz.
2.3.15. Satz. Cf kontraktibel $\iff$ $f$ Kettenäquivalenz.
Beweis. ($\implies$), andere Richtung: Übung
qed
2.3.17. Satz.$C_*, D_*$ positive Kettenkomplexe, $P'*$ projektiver, positiver Kettenkomplex.
Ist $f_*\colon C_*\to D_*$ Homologieäquivalenz, so ist $\mathrm{id}_{P_*}\otimes\colon P_*\otimes C_*\to P_*\otimes D_*$ eine Homologieäquivalenz.
Beweis. tba.
qed
2.3.18. Korollar. Seien $Q_*$ projektive Auflösung von $N$ und $M$ ein $R$-Modul. Dann existieren natürliche Isomorphismen $$\mathrm{Tor}_n^R(M,N)\cong H_n(M\otimes Q_*)$$
$$\mathrm{Tor}_n^R(M,N)\cong \mathrm{Tor}_n^R(N,N)$$