Es sei nun $M$ eine glatte Mannigfaltigkeit der Dimension $n$ und $m\in M$. Der zum Tangentialraum $T_mM$ duale Vektorraum ist der Kotangentialraum $T^*_mM=\mathrm{Hom}(T_mM,\mathbb R)$. Liegt $m$ in der Kartenumgebung $U$ einer Karte $(U,x)$, so bilden die Tangentialvektoren $$\frac\partial{\partial x^i},\quad i\in \{1,\ldots,n\}$$ eine Basis des Tangentialraums $T_mM$ im Punkte $m$. Die duale Basis von $T_m^*M$ wird mit $dx^j$ bezeichnet. Es gilt also $$dx^j\left(\frac\partial{\partial x^i}\right)=\delta_i^j=\begin{cases}1&\text{ für } i=j\\0&\text{ für } i\not=j.\end{cases}$$ Die genannten Tangentialvektoren lassen sich wie folgt beschreiben: Wir betrachten die lokal definierte Kurve $c_i\colon (-\varepsilon,\varepsilon)\to \mathbb R^n, c_i(t)=x(m)+te_i$. Die Abbildung $x^{-1}\circ c_i\colon (-\varepsilon,\varepsilon)\to M$ beschreibt eine Kurve durch den Punkt $m$ und es ist $$\frac\partial{\partial x^i}=T_0\left(x^{-1}\circ c_i\right)1$$ das Bild der $1\in \mathbb R=T_0\mathbb R$ unter der von der Ableitung der differenzierbaren Abbildung $x^{-1}\circ c_i$ beschriebenen linearen Abbildung der Tangentialräume $T_0\mathbb R\to T_mM$.
Die dazu dualen Kotangentialvektoren lassen sich noch einfacher beschreiben: Die $i$-te Komponente $x^i$ der Kartenabbildung $x$ ist eine differenzierbare Funktion auf der offenen Menge $U$. Ihre Ableitung $dx^i=T_m(x^i)$ ist eine lineare Abbildung $$dx^i\colon T_mM\to T_{x^i(m)}\mathbb R=\mathbb R.$$ Die Komposition der Abbildungen $x^{-1}\circ c_i$ und der Abbildung $x^j$ ist die Abbildung $$x^j\circ(x^{-1}\circ c_i)=\begin{cases}x^j(m)+\mathrm{id}_{(-\varepsilon,\varepsilon)}&\text{ für }i=j\\x^j(m)&\text{ für }i\not= j.\end{cases}$$ Die Formel $$dx^j\left(\frac\partial{\partial x^i}\right)=\delta_i^j$$ beschreibt die Ableitung der Funktion $x^j\circ(x^{-1}\circ c_i)$ und ist also nichts Anderes als die Kettenregel für die Ableitung an der Stelle $0$ dieser komponierten Funktion .
Die Kotangentialräume $T^*_mM$ einer Mannigfaltigkeit lassen sich, wie auch die Tangentialräume, zu einem Bündel, dem Kotangentialbündel, zusammenfassen.
4.2.1. Definition. Schnitte des Kotangentialbündels $T^*M$ heißen $1$-Formen und bilden einen $\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)$-Modul, der üblicherweise mit $\Omega^1(M)$ bezeichnet wird.
Ist $x:U\to\mathbb{R}^{n}$ eine Kartenabbildung mit Koordinatenfunktionen $x^{i}:U\to\mathbb{R}$ für $1\le i\le n$, so werden die lokal in der Kartenumgebung $U$ definierten Schnitte \[
m\mapsto\left(m,\epsilon^i\right)\in U\times\mathbb{R}^{n}
\] des Kotangentialbündels in der durch $x$ bestimmten Kartenumgebung von $T^*M$ mit \[
dx^{i}\in \Omega^1(U)
\] bezeichnet. Ist $\widetilde{x}$ eine weitere Kartenabbildung, so wird die Kartenwechselabbildung beschrieben durch die Formel \[
dx^i=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial x^{i}}{\partial\widetilde{x}^{j}}d\widetilde{x}^j.
\] Die den Kartenwechsel beschreibende Matrix $$\left(\frac{\partial x^{i}}{\partial\widetilde{x}^{j}}\right)_{ij}$$ ist die Transponierte der Inversen der Kartenwechselabbildung des Tangentialbündels.
Eine allgemeine $1$-Form $\omega\in\Omega^1\left(M\right)=\Gamma(T^*M)$ ist lokal in der durch $x$ beschriebenen Karte eine Linearkombination \[
\omega=\sum_{j=1}^n \omega_j dx^j
\]mit glatten Funktionen $\omega_i\in\mathcal C^\infty(U;\mathbb R)$. Beschreibt man die gegebene $1$-Form in einer anderen Karte \[
\omega=\sum_{i=1}^n\widetilde{\omega}_{i}d\widetilde{x}^i,
\] so liefert die Kettenregel die Gleichung \[
\sum_{j=1}^n\omega_j dx^j
=\sum_{j,k=1}^n \omega_j\delta^{j}_{k}dx^{k}
=\sum_{i,j,k=1}^n \omega_j\frac{\partial\widetilde{x}^{i}}{\partial x^{k}}\frac{\partial x^{j}}{\partial\widetilde{x}^{i}}dx^{k}
=\sum_{i,j=1}^n \omega_j \frac{\partial x^j}{\partial \widetilde{x}^i}d\widetilde{x}^i.
\] Die Koeffizientenfunktionen der $1$-Form $\omega$ haben also das Transformationsverhalten \[
\widetilde{\omega}_{i}=\sum_{j=1}^n\omega_{j}\frac{\partial{x}^{j}}{\partial \widetilde{x}^{i}}.
\]
Ist $(U,x)$ eine Karte um den Punkt $m\in M$, so bilden die Formen $dx^{i_1}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}$ mit $i_1\lt\ldots\lt i_k$ eine Basis der alternierenden Formen $Alt^k(T_mM)$ auf dem Tangentialraum in $m$. Die alternierenden $k$-Formen $Alt^k(T_mM)$ auf einer Mannigfaltigkeit lassen sich, wie auch die Kotangentialräume, zu einem Bündel $Alt^k(TM)$ der alternierenden $k$-Formen zusammenfassen.
4.2.2. Definition. Schnitte des Bündels $Alt^k(TM)$ heißen $k$-Formen und bilden den $\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)$-Modul $\Omega^k(M)$.
Eine allgemeine $k$-Form $\omega\in\Omega^k\left(M\right)$ ist lokal in der Karte $(U,x)$ eine Linearkombination \[
\omega=\sum_{j_1\lt\ldots\lt j_k} \omega_{j_1,\ldots,j_k} dx^{j_1}\wedge\ldots\wedge dx^{j_k}.
\] Mit der Abkürzung $J=(j_1,\ldots,j_k)$ für den Multi-Index mit $j_1\lt\ldots\lt j_k$ bekommt diese Gleichung die Gestalt \[
\omega=\sum_{|J|=k} \omega_J dx^J.
\] Beschreibt man die gegebene $k$-Form bezüglich einer anderen Karte \[
\omega=\sum_{|I|=k}\widetilde{\omega}_{I}d\widetilde{x}^I,
\] so liefert die Darstellung $$dx^i=\sum_{j=1}^n\frac{\partial x^i}{\partial \widetilde{x}^j}d\widetilde{x}^j$$ die Gleichung \[
dx^I =\sum_{|J|=k}\frac{\partial x^I}{\partial \widetilde{x}^J}d\widetilde{x}^J.\] Die Koeffizientenfunktionen sind Determinanten von Untermatrizen der Jacobischen $$ \frac{\partial x^I}{\partial \widetilde{x}^J}:=\det\left(\begin{matrix}\frac{\partial x^{i_1}}{\partial \widetilde{x}^{j_1}}&\ldots&\frac{\partial x^{i_1}}{\partial \widetilde{x}^{j_k}}\\
\vdots&&\vdots\\
\frac{\partial x^{i_k}}{\partial \widetilde{x}^{j_1}}&\ldots&\frac{\partial x^{i_k}}{\partial \widetilde{x}^{j_k}}\end{matrix}\right).$$