Das erste Ziel ist es, eine möglichst große Klasse $\mathfrak A$ von Teilmengen des $\mathbb R^n$ anzugeben, denen man sinnvollerweise einen Inhalt zuordnen kann, d.h. eine Abbildung $$\mu\colon \mathfrak A\to [0,\infty],$$ so dass die Zahl $\mu(A)$ für $A\in \mathfrak A$ als Volumen oder Inhalt interpretiert werden kann. Die Abbildung $\mu$ sollte additiv sein in dem Sinne, dass eine Gleichung der Art $$\mu\left(\sqcup_{i\in I}A_i\right)=\sum_{i\in I}\mu(A_i)$$ gilt für paarweise disjunkte Mengen. Diese Gleichung verlangt eine gewisse Verträglichkeit von mengentheoretischen Strukturen und algebraischen Strukturen. Diese Verträglichkeit hat Konsequenzen: Wenn auf der algebraischen Seite der Zahlen nur abzählbare Summen Sinn machen, so sollten wir uns auf der mengentheoretischen Seite besser auch auf abzählbar viele Operationen beschränken. Konkret geschieht dies mit Hilfe des Begriffs der $\sigma$-Algebra. Das $\sigma$ steht hier für die abzählbare Summierbarkeit.