Die Differentialformen auf einer Mannigfaltigkeit bilden eine graduierte Algebra $$\Omega^*(M)=\oplus_{k=1}^\infty \Omega^k(M),$$ zusammen mit einer äußeren Ableitung $$d\colon \Omega^k(M)\to \Omega^{k+1}(M).$$ Der nullte Summand $\Omega^0(M)$ ist der Raum $\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)$ der reellwertigen glatten Funktionen auf $M$. Insoweit kann die Algebra der Differentialformen verstanden werden als Erweiterung des Rings der glatten Funktionen auf $M$. Es gilt $\Omega^k(M)=0$ für $k\gt \dim(M)$. Für die Integration auf $M$ relevant ist der Summand $\Omega^{\dim(M)}(M)$.