Wir definieren die äußere Ableitung zuerst für eine offene Teilmenge $U\subset \mathbb R^n$ des euklidischen Raumes. Es bezeichne $\Omega^*$ die assoziative $\mathbb R$-Algebra mit $1$ mit Erzeugern $dx^1,\ldots,dx^n$ und den Relationen
- $dx^i\wedge dx^i=0$
- $dx^i\wedge dx^j=-dx^j\wedge dx^i$ für $i\not=j$.
Die Differentialformen auf $U$ bilden die Algebra $$\Omega^*(U)=\mathcal C^\infty(U;\mathbb R)\otimes_{\mathbb R}\Omega^*=\oplus_{k=1}^\infty \Omega^k(U).$$
4.3.1. Definition. Die äußere oder Cartansche Ableitung $d\colon \Omega^q(U)\to\Omega^{q+1}(U)$ ist die $\mathbb R$-lineare Abbildung, welche definiert ist durch
4.3.2. Beispiel. Im Fall $\mathbb R^3$ sind folgende Identifikationen möglich: \begin{align}
\text{ Funktionen } \quad &\leftrightarrow & 0\text{-Formen }\quad &\leftrightarrow & 3\text{-Formen }\quad \\
g\qquad &\leftrightarrow & g\qquad &\leftrightarrow &g\, dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3\end{align} sowie \begin{align}
\text{ Vektorfelder } \quad&\leftrightarrow & 1\text{-Formen }\qquad\qquad &\leftrightarrow & 2\text{-Formen }\qquad\qquad\qquad\qquad \\
(h_1,h_2,h_3)\qquad &\leftrightarrow & h_1dx^1+h_2dx^2+h_3dx^3\quad &\leftrightarrow & h_1dx^2\wedge dx^3+h_2dx^3\wedge dx^1+h_3dx^1\wedge dx^2.\end{align}
Die äußere Ableitung berechnet sich wie folgt auf $0$-Formen
$$dg=\frac{\partial g}{\partial x^1}dx^1+\frac{\partial g}{\partial x^2}dx^2+\frac{\partial g}{\partial x^3}dx^3$$
und auf $1$-Formen
\begin{multline*} d\left(h_1dx^1+h_2dx^2+h_3dx^3\right)=\\
\left(\frac{\partial h_3}{\partial x^2}-\frac{\partial h_2}{\partial x^3}\right)dx^2\wedge dx^3
+\left(\frac{\partial h_1}{\partial x^3}-\frac{\partial h_3}{\partial x^1}\right)dx^3\wedge dx^1
+\left(\frac{\partial h_2}{\partial x^1}-\frac{\partial h_1}{\partial x^2}\right)dx^1\wedge dx^2
\end{multline*} sowie auf $2$-Formen $$
d\left( h_1dx^2\wedge dx^3+h_2dx^3\wedge dx^1+h_3dx^1\wedge dx^2\right) = \left(\frac{\partial h_1}{\partial x^1}+\frac{\partial h_2}{\partial x^2}+\frac{\partial h_3}{\partial x^3}\right)dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3.$$ Mit den obigen Identifikationen entspricht die äußere Ableitung somit den folgenden, in der Physik geläufigen Differentialoperatoren:\begin{align}
d(0-\text{Form })&\leftrightarrow \text{ Gradient }\leftrightarrow \vec{\nabla}g\\
d(1-\text{Form })&\leftrightarrow \text{ Rotation } \leftrightarrow \vec{\nabla}\times \vec{h}\\
d(2-\text{Form })&\leftrightarrow \text{ Divergenz }\leftrightarrow \vec{\nabla}\cdot \vec{h}
\end{align}
4.3.3. Proposition. Für die äußere Ableitung gilt:
Beweis.
- Für $\tau= g_I\,dx^I$ und $\omega=h_J\,dx^J$ gilt die Leibniz-Regel $$
d(\tau\wedge\omega)=d\left(g_Ih_J \right)\,dx^I\wedge dx^J=\left(h_J\,dg_I + g_I\,dh_J \right)\wedge dx^I\wedge dx^J
=(d\tau)\wedge \omega + (-1)^k\tau\wedge(d\omega).$$ - Für eine Funktion $g\in\Omega^0$ gilt $$d^2g=d\left(\sum_{i=1}^n\frac{\partial g}{\partial x^i}dx^i\right)=\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial^2 g}{\partial x^j \,\partial x^i }dx^j\wedge dx^i=0,$$ da der erste Term $\frac{\partial^2 g}{\partial x^j \,\partial x^i }$ symmetrisch in $i$ und $j$ ist, der zweite Term dagegen anti-symmetrisch. Im Falle einer $k$-Form $\omega=g_I\,dx^I$ gilt $$d^2\omega=d(dg_I\wedge dx^I)=(d^2g_I)\wedge dx^I - dg\wedge d(dx^I)=0.$$ Das Verschwinden des ersten Summanden wurden schon gezeigt. Sukzessive Anwendung der Produktregel auf die Faktoren in $d(dx^I)$ liefert das Verschwinden des zweiten Summanden, da für jeden Faktor $dx^i$ auch die äußere Ableitung $ddx^i$ die zweifache Anwendung des Operators $d$ auf die glatte Funktion $x^i$ darstellt.
qed
4.3.4. Bemerkung. Seien $U\subset \mathbb R^n$ und $V\subset\mathbb R^q$ jeweils offene Teilmengen und $f\colon V\to U$ eine glatte Abbildung. Diese induziert eine Abbildung $$f^*\colon \Omega^k(U)\to\Omega^k(V),\quad \omega\mapsto f^*\omega$$ durch $$
f^*\left(g_I\,dx^{i_1}\wedge\ldots \wedge dx^{i_k}\right):=(g_I\circ f)\,d(x^{i_1}\circ f)\wedge\ldots \wedge d(x^{i_k}\circ f).$$ Die Funktion $x^i\circ f\colon V\to \mathbb R$ ist nichts Anderes als die $i$-te Komponente der Funktion $f=(f^1,\ldots,f^n)$. Wir können also auch kurz schreiben $$ f^*\left(g_I\,dx^{i_1}\wedge\ldots \wedge dx^{i_k}\right)=(g_I\circ f)\,df^{i_1}\wedge\ldots \wedge df^{i_k}.$$
Man überzeugt sich, dass diese Beschreibung von $f^*$ für jeden Punkt $p\in V$ und die nach 4.1.1. von der linearen Abbildung $Df\colon T_pV\to T_{f(p)}U$ definierten lineare Abbildung $ Alt^k(T_{f(p)}U)\to Alt^k(T_{p}V)$ übereinstimmen. Die folgende Aussage sollte angesichts der obigen Beschreibung von $f^*$ nicht weiter überraschen:
4.3.5. Satz. Die äußere Ableitung $d$ vertauscht mit glatten Abbildungen, d.h. ist $f\colon V\to U$ eine glatte Abbildung, so gilt $$f^*d\omega=d\left(f^*\omega\right)$$ für alle Differentialformen $\omega$ auf $U$.
Beweis. Dies ist eine Anwendung der Kettenregel. Es gilt \begin{align}df^*\left(g_I\,dx^{i_1}\wedge\ldots \wedge dx^{i_k}\right)
&=d\left(\left(g_I\circ f\right)\,df^{i_1}\wedge\ldots \wedge df^{i_k}\right)\\
&=d\left(g_I\circ f\right)\wedge df^{i_1}\wedge\ldots \wedge df^{i_k}\end{align} und \begin{align}f^*d\left(g_I\,dx^{i_1}\wedge\ldots \wedge dx^{i_k}\right)
&=f^*\left(\sum_{j=1}^n\frac{\partial g_I}{\partial x^j}dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge\ldots \wedge dx^{i_k}\right)\\
&=\left(\left(\sum_{j=1}^n\frac{\partial g_I}{\partial x^j}\circ f\right) df^j\right)\wedge df^{i_1}\wedge\ldots \wedge df^{i_k}\\
&=d\left(g_I\circ f\right)\,df^{i_1}\wedge\ldots \wedge df^{i_k}\end{align}qed
4.3.6. Korollar. Es gibt genau eine $\mathbb R$-lineare Abbildung $$d\colon \Omega^*(M)\to \Omega^*(M),$$ mit den Eigenschaften:
Beweis. Es bezeichne \begin{align}\epsilon^{\,j}=d\epsilon^{\,j}\colon \mathbb R^n&\to \mathbb R\\ \sum_{k=1}^n\lambda^ke_k&\mapsto \lambda^j\end{align} die Funktion, die einem Punkt in $\mathbb R^n$ seine $j$-te Koordinate zuordnet. Nach Definition sind die $1$-Formen $dx^{\,j}$ von der Form $$dx^{\,j}=x^*d\epsilon^{\,j}.$$ Die ersten drei Punkte der Aussage folgen daraus nach 4.3.3. und 4.3.5. Die letzte Aussage folgt aus der Kettenregel: Ist $m\in M$ und $y\colon V\to \mathbb R^{\dim N}$ eine lokale Karte um $f(m)$, so gilt $$f^*dy^j (m)=d\left(\epsilon^j\circ y\circ f\right)(m)= d\left(\epsilon^j\circ y\right)\left(f(m)\right)\circ Df(m)\colon T_mM\to T_{\epsilon^j\circ y\circ f(m)}\mathbb R=\mathbb R.$$ qed