Es sei $(U,x)$ Karte einer glatten Mannigfaltigkeit der Dimension $n$. Glatte Funktionen $f\colon U\to \mathbb R$ werden lokal in der offenen Umgebung $U$ in der Form $$f=f(x^1,\ldots,x^n)$$ dargestellt. Diese Schreibweise kann etwas mißverständlich erscheinen : Dem $f$ auf der linken Seite füttert man einen Punkt $p\in U$, damit es eine reelle Zahl ausspuckt. Dem $f$ auf der rechten Seite muss man dagegen ein $n$-Tupel von reellen Zahlen kredenzen, nämlich die Koordinaten $x^1(p), \ldots, x^n(p)$ des Bildpunktes $x(p)\in \mathbb R^n$ von $p$, um ihm eine reelle Zahl als Funktionswert zu entlocken. Formal richtig sollte man etwas umständlich schreiben: Wir zerlegen uns die Funktion $$f=\left(f\circ x^{-1}\right) \circ x$$ in eine Komposition der Kartenabbildung und der Funktion $f\circ x^{-1}$, die auf einer offenen Teilmenge des $\mathbb R^n$ definiert ist.
5.1.1. Definition. Es sei $(U,x)$ eine Karte einer Mannigfaltigkeit der Dimension $n$. Für eine $n$-Form $\omega=g\,dx^1\wedge\ldots\wedge dx^n$, deren kompakter Träger in $U$ enthalten ist, definieren wir das Integral $$\int_U\omega =\int_Ug(x^1,\ldots,x^n)\,dx^1\wedge\ldots\wedge dx^n:=\int_{x(U)}g\circ x^{-1}\,d\lambda_n$$
In dieser Definition fasst man in dem Ausdruck auf der rechten Seite die zu integrierende Funktion als eine Funktion in $n$ reellen Variablen auf, die man wie gewohnt mit Hilfe des Satzes von Fubini integriert.
5.1.2. Beobachtung. Ist $(V,y)$ eine weitere Karte, so sei $$\psi=x\circ y^{-1}\colon y(U\cap V)\to x(U\cap V)$$ die Kartenwechsel-Abbildung zwischen den offenen Teilmengen $y(U\cap V)$ und $ x(U\cap V)$ des $\mathbb R^n$. Eine $n$-Form mit kompakten Träger in $U\cap V$ wird in den jeweiligen Karten mittels der Formel $$\omega=g(x^1,\ldots,x^n)dx^1\wedge\ldots dx^n=g(y^1,\ldots,y^n)dy^1\wedge\ldots dy^n$$ dargestellt. Hier bezeichnet $$g(y^1,\ldots,y^n)=g\circ y^{-1}=g\circ x^{-1}\circ x\circ y^{-1}=g(x^1,\ldots,x^n)\circ \psi=\psi^*\left(g(x^1,\ldots,x^n)\right)$$ und es gilt die Transformationsformel $$dx^1\wedge\ldots dx^n= \det\left(D\psi\right)dy^1\wedge\ldots dy^n= \det\left(\frac{\partial x^i}{\partial y^j}\right)_{i,j}\,dy^1\wedge\ldots dy^n=\psi^*dy^1\wedge\ldots dy^n.$$ Die Transformationsformel für das Integral lautet $$\int_{\mathbb R^n}g\circ x^{-1}\,d\lambda_n=\int_{\mathbb R^n}g\circ x^{-1}\circ\psi\,\left|\det(D\psi)\right|\,d\lambda_n.$$ Ist die Determinante von $D\psi$ an allen Stellen positiv, so erhalten wir aus unserer Definition und der Transformationsformel für das Lebesgue-Maß somit die Gleichung \begin{align}\int_{U\cap V} g(x^1,\ldots,x^n)dx^1\wedge\ldots dx^n&=\int_{x(U\cap V)}g\circ x^{-1}\,d\lambda_n\\&=\int_{y(U\cap V)}\left(g\circ x^{-1}\right)\circ \psi \det(D\psi)\,d\lambda_n\\&=\int_{U\cap V} g(y^1,\ldots,y^n)dy^1\wedge\ldots dy^n.\end{align} Das jeweils vermittels einer fixierten Karte definierte Integral $\int_{U\cap V}\omega$ ist also unabhängig von der gewählten Karte, solange wir nur orientierungserhaltende Kartenwechsel erlauben.
5.1.3. Satz. Eine Mannigfaltigkeit $M$ der Dimension $n$ ist genau dann orientierbar, wenn es eine nirgends verschwindende $n$-Form $\omega\in \Omega^n(M)$ gibt.
5.1.4. Definition. Es sei $M$ eine orientierte Mannigfaltigkeit, $\mathcal A$ ein orientierter Atlas, und $\omega\in\Omega^n(M)$ eine $n$-Form mit kompaktem Träger. Des weiteren sei $\{\rho_\alpha\}$ eine der Kartenüberdeckung untergeordnete Zerlegung der $1$. Wir definieren das zugeordnete Integral durch $$\int_M\omega:=\sum_\alpha\int_{U_\alpha}\rho_\alpha\omega.$$
5.1.5. Satz. Das so definierte Integral $\int_M\omega$ ist unabhängig vom gewählten orientierten Atlas und von der gewählten Zerlegung der $1$.