3.0.1. Definition. Eine $n$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit $M$ ist ein hausdorffscher topologischer Raum mit abzählbarer Basis der Topologie, der lokal homöomorph ist zu $\mathbb R^n$.
Erinnerung. Ein topologischer Raum $(M,\mathcal{T})$ besteht aus einer Menge $M$ und einer Familie $\mathcal{T}$ (genannt Topologie) von offenen Teilmengen von M. Genauer ist eine Topologie $\mathcal{T}\subset\mathfrak{P}(M)$ eine Teilmenge der Potenzmenge, die folgenden Axiomen genügt:
- Die leere Menge, sowie die ganze Menge sind offen, also $\emptyset,M\in\mathcal{T}$.
- Beliebige Vereinigungen von offenen Teilmengen sind offen.
- Endliche Durchschnitte von offenen Teilmengen sind offen.
Meist spricht man -pars pro toto- vom topologischen Raum M und geht stillschweigend von der Bekanntheit von $\mathcal{T}$ aus. Ist $U\subset M$ offen, so nennt man das Komplement $A=M\setminus U$ abgeschlossen. Eine Abbildung $f:M\to N$ zwischen topologischen Räumen $(M,\mathcal{T}_{M})$ und $(N,\mathcal{T}_{N})$ heißt stetig, wenn Urbilder offener Mengen jeweils offen sind, d.h. es gilt $f^{-1}(U)\in\mathcal{T}_{M}$ für alle $U\in\mathcal{T}_{N}$. Ist eine stetige Abbildung $f:M\to N$ bijektiv und ist die Umkehrabbildung $f^{-1}$ ebenfalls stetig, so nennt man $f$ einen Homöomorphismus und die topologischen Räume $M$ und $N$ homöomorph. Ist ein Element $m\in M$ eines topologischen Raums in einer offenen Menge $U\subset M$ enthalten, so nennt man $U$ eine offene Umgebung des Punktes $m$.
Die anderen, in der Definition auftretenden Begriffe sind nun schnell geklärt.
- Ein topologischer Raum heißt lokal homöomorph zu $\mathbb{R}^{n}$, falls jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge von $\mathbb{R}^{n}$ ist.
- Ein topologischer Raum ist hausdorffsch, falls je zwei disjunkte Punkte auch disjunkte offene Umgebungen besitzen.
- Ein topologischer Raum besitzt eine abzählbare Basis der Topologie, wenn es eine abzählbare Teilmenge $\mathcal{B}\subset\mathcal{T}$ der Topologie gibt, die diese erzeugt, d.h. jede offene Menge ist Vereinigung von Mengen aus $\mathcal{B}$.
Entscheidend ist die Tatsache, dass eine topologische Mannigfaltigkeit lokal aussieht, wie $\mathbb R^n$. Die beiden anderen Bedingungen sind eher technischer Natur, um gewisse, als pathologisch angesehene Phänomene ausschließen. Der euklidische Raum $\mathbb{R}^{k}$ (und damit jeder Unterraum $M\subset\mathbb{R}^{k}$ eines euklidischen Raumes mit der dadurch induzierten Topologie) ist hausdorffsch und besitzt eine abzählbare Basis der Topologie, nämlich $$\mathcal{T}=\left\{ U_{\frac{1}{n}}(r)\;\vert\;r\in\mathbb{Q}^{k},n\in\mathbb{N}\right\} .$$