Es sei $\mathbb H$ die Menge der komplexen $2\times 2$-Matrizen der Form
\[\begin{pmatrix}a&b\\-\bar b&\bar a\end{pmatrix}.\] Diese Menge bildet einen vierdimensionalen reellen Vektorraum. Das Produkt zweier Matrizen
\[\begin{pmatrix}a&b\\-\bar b&\bar a\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}c&d\\-\bar d&\bar c\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}ac-b\bar d&ad+b\bar c\\
-(\bar{a}\bar{d}+\bar{b}c)&\bar{a}\bar{c}-\bar{b}
d\end{pmatrix}\] in $\mathbb H$ ist wiederum ein Element von $\mathbb H$. Die $\mathbb R$-Vektorraumstruktur, zusammen mit der Matrizenmultiplikation, macht die Menge $\mathbb H$ zu einer $\mathbb R$-Algebra, der Algebra der Quaternionen. Die Bezeichnung $\mathbb H$ ist dem Erfinder, Sir William Rowan Hamilton, geschuldet. Die $\mathbb R$-lineare Abbildung $$\mathbb H\to \mathbb H,\quad A\mapsto A^*:=\bar{A}^t $$ heißt Konjugation und erfüllt die Gleichung \[(AB)^*=B^*A^*.\] Definiert man die Norm $N(A)$ eines Elementes als \[N(A)=|a|^2+|b|^2=det(A),\] so gilt
\[A\cdot A^*=N(A)\cdot\mathbb I_2,\] denn $A^*$ ist auch die Adjunkte von $A$. Die Norm $N(A)$ eines Elementes verschwindet genau dann, wenn $A$ die Nullmatrix ist. Deshalb besitzt jedes von Null verschiedene Element von $\mathbb H$ das multiplikative Inverse
\[A^{-1}=N(A)^{-1}\cdot A^*.\] Insbesondere bilden die Quaternionen einen Schiefkörper.
Es gibt eine Einbettung
\[\iota:{\mathbb C}\to {\mathbb H},\quad c\mapsto
\begin{pmatrix}c&0\\0&\bar{c}\end{pmatrix},\] deren Bild ein zu den komplexen Zahlen isomorpher Unterkörper ist. Vermittels $\iota$ wird $\mathbb H$ zu einem zweidimensionalen komplexen Vektorraum; die Skalarmultiplikation mit $c\in \mathbb C$ wird durch Linksmultiplikation mit der Matrix $\iota(c)$ gegeben. Als komplexer Vektorraum hat $\mathbb H$ die Standardbasis
\[1=
\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad\text{und}\quad j=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.\] Jedes Element in $\mathbb H$ wird in dieser Basis dargestellt als Linearkombination
\[a+bj=\begin{pmatrix}a&b\\-\bar{b}&\bar{a}\end{pmatrix},\quad a,b\in\mathbb C.\] Genau genommen steht auf der linken Seite der Gleichung die Matrix $\iota(a)+\iota(b)j$. Es gelten die Multiplikationsregeln
\begin{eqnarray}\label{j}
j^2&=&-1 \quad\text{und}\\zj\quad=&j\,\bar{z}&=\quad
\begin{pmatrix}0&z\\-\bar{z}&0\end{pmatrix}
\nonumber\end{eqnarray} für $z\in \mathbb C$. Die Basis $1$, $j$ von $\mathbb H$ ist eine Orthonormalbasis bezüglich des unitären Skalarproduktes
\[\left(a+bj,c+dj\right):=\bar{a}c+\bar{b}d.\] Als reeller Vektorraum besitzen die Quaternionen die Standardbasis
\[1=
\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad
i=
\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix},\quad
j=
\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\quad
k=
\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}\] mit den Multiplikationsregeln
\begin{eqnarray}\label{ijk}i^2&=&j^2\,\,=\,\,\,k^2\,\,=\,\,-1\\
ij&=&k\,\,=\,\,-ji\nonumber\\
jk&=&i\,\,\,=\,\,-kj\nonumber\\
ki&=&j\,\,=\,\,-ik.\nonumber
\end{eqnarray} Die Formeln in den beiden letzten Zeilen entstehen aus der Formel in der zweiten Zeilen durch zyklische Permutation der Buchstaben $i$, $j$ und $k$. Mit dieser Beobachtung kann zumindest ich mir diese Multiplikationsregeln leicht merken. Eine Quaternion stellt sich also dar als Linearkombination der Form
\[q=\alpha+\beta i+\gamma j+\delta k,\quad \text{mit}\quad
\alpha, \beta, \gamma, \delta\in \mathbb R.\] Quaternionen werden komponentenweise addiert und unter Verwendung der obigen Multiplikationsregeln multipliziert. Die Elemente $1$, $i$, $j$ und $k$ bilden eine Orthonormalbasis bezüglich des euklidischen Skalarproduktes $\langle -, -\rangle$, das durch den Realteil des unitären Skalarproduktes $(-,-)$ gegeben wird.
Insgesamt haben wir drei verschiedene Darstellungen der Quaternionen kennengelernt:
\[A=\begin{pmatrix}a&b\\-\bar b&\bar a\end{pmatrix}=
a+bj=\alpha+\beta i+\gamma j+\delta k,\] wobei $a=\alpha +\beta i$ und $b=\gamma+\delta i$ jeweils komplexe Zahlen sind und griechischen Buchstaben reelle Zahlen darstellen. Je nach Darstellungsweise läßt sich die Multiplikation verschieden beschreiben: Entweder durch die Matrizenmultiplikation, oder durch die Multiplikationsregeln \ref{j} in der Darstellung über die komplexe Basis $1$ und $j$, oder schließlich durch die Multiplikationsregeln \ref{ijk} in der reellen Basis bestehend aus $1$, $i$, $j$ und $k$. Entsprechend den verschiedenen Darstellungen gibt es für die Norm einer Quaternion verschiedene Beschreibungen
\[N(A)=A^*\cdot A=\left(A,A\right)=\langle A,A\rangle.\]
Die Quaternionen mit $\alpha=0$ bilden einen dreidimensionalen Unterraum $Im\,\mathbb H$ von $\mathbb H$, dessen Elemente reine Quaternionen heißen und den wir über die Basis $(i,j,k)$ mit $\mathbb R^3$ identifizieren. Wir haben dann eine kanonische orthogonale Zerlegung von $\mathbb H$ bezüglich des euklidischen Skalarprodukts
\[{\mathbb H}=\mathbb R\oplus Im\,\mathbb H\] in den Unterkörper $\mathbb R$ und den euklidischen Raum der reinen Quaternionen. Wir nennen $Im\,A=\beta i+\gamma j+\delta k$ auch den reinen oder imaginären Teil der Quaternion $A$. Die reinen Quaternionen lassen sich durch die multiplikativen Eigenschaften von $\mathbb H$ charakterisieren:
Satz. Genau dann ist $A\in Im\,{\mathbb H}$, wenn gilt $A^2\in \mathbb R$, $A^2\leq 0$.
Beweis. Ist $A$ eine reine Quaternion, so gilt $A^*=-A$ und damit
\[A^2=-A^*\cdot A=-N(A).\] Für den Beweis der Umkehrung sei $A=\alpha+B$ mit $B\in Im\,{\mathbb H}$. Dann ist $A^2=\alpha^2+2\alpha B+B^2$ genau dann reell, wenn $\alpha B=0$ ist, also entweder wenn $\alpha=0$ ist oder $B=0$. Ist $B=0$, so folgt aus $A^2=\alpha^2\leq 0$ aber auch $\alpha=0$.
qed