Das Kreuzprodukt oder Vektorprodukt ist auf dem $3$-dimensionalen euklidischen Raum $V=\mathbb R^3$, versehen mit dem Standardskalarprodukt $\langle-,-\rangle$, definiert.
Die erste Konstruktion benutzt Quaternionen. Hier identifizieren wir $V$ mit dem Imaginärteil $Im\,\mathbb H$ von $\mathbb H$ vermittels der Zuordnung \[\mathbb R^3\ni u=(\beta,\gamma,\delta)^t\mapsto \varphi(u)=\beta i+\gamma j+\delta k\in Im\,\mathbb H.\]
Definition. Mittels der Identifikation durch die Isometrie $\varphi:\mathbb R^3\to Im\,\mathbb H$ und der Quaternionenmultiplikation wird das Kreuzprodukt \[\times\colon \mathbb R^3\times \mathbb R^3\to\mathbb R^3,\quad (u,v)\mapsto u\times v\] definiert durch die Formel
\[\varphi(u\times v)=Im(\varphi(u)\cdot\varphi(v)).\]
Die Multiplikationsregeln \ref{ijk} für die Quaternionen ergeben
\begin{align*}(\beta_1i + \gamma_1j+ \delta_1k)
\cdot(\beta_2i+ \gamma_2j + \delta_2k)
=&
-(\beta_1\beta_2+\gamma_1\gamma_2+\delta_1\delta_2)+\\&+
(\gamma_1\delta_2-\delta_1\gamma_2)i+
( \delta_1\beta_2-\beta_1\delta_2 )j+
( \beta_1\gamma_2-\gamma_1\beta_2)k.
\end{align*}
Unter Verwendung von Spaltenvektoren erhalten wir die Formel
\begin{equation}\label{Quat}
\begin{pmatrix}\beta_1 \\ \gamma_1 \\ \delta_1\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}\beta_2 \\ \gamma_2 \\ \delta_2\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}\gamma_1\delta_2-\delta_1\gamma_2
\\ \delta_1\beta_2-\beta_1\delta_2
\\ \beta_1\gamma_2-\gamma_1\beta_2\end{pmatrix}.
\end{equation}
Eine zweite Konstruktion des Kreuzproduktes verwendet für $u,v,w\in V=\mathbb R^3$ die Determinante $det(u,v,w)$ mit den Spaltenvektoren $u,v$ und $w$. Für feste Vektoren $u,v\in V$ liefert die Zuordnung $w\mapsto det(u,v,w)$ eine lineare Abbildung $V\to V$. Es gibt deshalb einen von $u$ und $v$ abhängigen Vektor $p(u,v)\in V$, so dass diese lineare Abbildung durch das Skalarprodukt $w\mapsto \langle p(u,v),w\rangle$ beschrieben wird. Das Vektorprodukt des geordneten Paares $(u,v)$ ist nun $p(u,v):=u\times v$. Wir erhalten also folgende
Definition. Das Vektorprodukt auf $V=\mathbb R^3$ ist die eindeutig bestimmte bilineare Abbildung $V\times V\to V$, $(u,v)\to u\times v$, die die Gleichung
\[\langle u\times v,w\rangle=det(u,v,w)\]
für alle $w\in V$ erfüllt.
Da die Determinante alternierend ist, folgt
\[u\times v=-v\times u \quad\text{und}\quad u\times u=0\] für alle $u,v\in V$. Die Verknüpfung ist also nicht kommutativ. Nach dieser zweiten Definition gilt $\langle u\times v,\lambda u+\mu v\rangle=0$ und damit:
Satz. Der Vektor $u\times v$ ist orthogonal zu dem von $u$ und $v$ aufgespannten Untervektorraum.
Es sei $u=(\beta_1,\gamma_1,\delta_1)^t$ und $v=(\beta_2,\gamma_2,\delta_2)^t$ und es bezeichne $e_l$ den
$l$-ten Standardeinheitsvektor. Dann gilt
Satz. Der Vektor $u\times v$ hat die Komponentendarstellung
\[u\times v=
\left|\begin{array}{cc}\gamma_1 &\gamma_2\\ \delta_1&\delta_2\end{array}\right|e_1-
\left|\begin{array}{cc}\beta_1&\beta_2\\
\delta_1&\delta_2\end{array}\right|e_2+
\left|\begin{array}{cc}\beta_1&\beta_2\\
\gamma_1 &\gamma_2\end{array}\right|e_3.\]
Beweis. Man bildet das Skalarprodukt mit $w=(\beta_3,\gamma_3,\delta_3)^t$ und sieht, dass die Entwicklung von
\[
\left|\begin{array}{ccc}\beta_1&\beta_2&\beta_3\\
\gamma_1 &\gamma_2&\gamma_3\\
\delta_1&\delta_2&\delta_3\end{array}\right|
\]
nach der dritten Spalte herauskommt.
qed
Durch Vergleich der Formeln erkennt man die Äquivalenz der beiden Definitionen des Kreuzproduktes.
Eine geometrische Charakterisierung des Kreuzproduktes ist: Der Vektor $u\times v$ steht senkrecht auf der von $u$ und $v$ aufgespannten Ebene. Die Länge des Vektors ist
\[|u\times v|=|u|\,|v|\,sin(\psi),\]wenn $\psi$ den Winkel zwischen $u$ und $v$ bezeichnet. Dies ist der Flächeninhalt des von $u$ und $v$ aufgespannten Parallelogramms. Ist nämlich $w$ ein dritter Vektor, so ist $|det(u,v,w)|$, wie wir im ersten Semester sahen, das Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds. Ist speziell $|w|=1$ und $w$ senkrecht zu $u$ und $v$, so ist dieses Volumen gleich der Fläche des von $u$ und $v$ aufgespannten Parallelogramms (mal der Höhe, die ist aber gleich $1$), also gleich $|\langle u\times v,w\rangle|=|u\times v|\cdot |w|=|u\times v|$.