Als Nächstes wollen wir zeigen, dass der Raum $\mathcal C^k([a,b],\mathbb R)$ der auf einem kompakten Intervall $k$-mal stetig differenzierbaren Funktionen bezüglich der $\mathcal C^k$-Norm vollständig ist. Die wesentliche Eigenschaft, die wir hier benutzen, ist die der gleichmäßigen Konvergenz. Wir betrachten dazu eine etwas allgemeinere Situation.
Definition. Sei $X$ ein topologischer Raum, $V$ ein normierter Vektorraum über $\mathbb K$, und $(f_n)_{n\in \mathbb N}$ eine Folge von Abbildungen $f_n\colon X\to V$. Die Folge $(f_n)$ heißt lokal gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion $f\colon X\to V$, falls es zu jedem $x\in X$ eine Umgebung $W_x$ von $x$ in $X$ gibt mit $$\lim_{n\to\infty}\left(\sup_{y\in W_x}\|f_n(y)-f(y)\|\right)=0.$$
In der Anwendung ist $X$ das Intervall $[a,b]$ und $V$ der ein-dimensionale Vektorraum $\mathbb R$. Es schadet aber nichts, wenn wir das entscheidende Argument etwas allgemeiner formulieren und beweisen:
5.5.5. Satz. Konvergiert eine Folge $(f_n)_{n\in \mathbb N}$ stetiger Funktionen $f_n\colon X\to V$ lokal gleichmäßig gegen eine Funktion $f\colon X\to V$, so ist diese Grenzfunktion stetig.
Beweis. Wir zeigen Stetigkeit von $f$ im Punkte $x\in X$. Sei dazu $\varepsilon\gt 0$ gegeben. Nach Voraussetzung existiert eine Umgebung $W_x$ von $x$ und ein $N\in\mathbb N$, so dass $$\sup_{y\in W_x}\|f_n(y)-f(y)\|\lt \frac{\varepsilon}3$$ für alle $n\ge N$. Wegen der Stetigkeit der Funktion $f_N$ ist $f^{-1}_N\left(U_{\frac{\varepsilon}3}(f_N(x))\right)$ und folglich auch $$\tilde{W}_x:=f^{-1}_N\left(U_{\frac{\varepsilon}3}(f_N(x))\right)\cap W_x$$ eine Umgebung von $x$ in $X$. Insbesondere gilt für alle $y\in \tilde{W}_x$ die Abschätzung $$\|f_N(y)-f_N(x)\|\lt \frac{\varepsilon}3.$$ Zusammengenommen erhalten wir für $y\in \tilde{W}_x$ die Abschätzung $$\|f(y)-f(x)\|\lt \|f(y)-f_N(y)\|+\|f_N(y)-f_N(x)\|+\|f_N(x)-f(x)\| \lt \frac{\varepsilon}3+\frac{\varepsilon}3+\frac{\varepsilon}3=\varepsilon.$$ qed
5.5.6. Korollar. Der Raum $\mathcal C^0([a,b],\mathbb R)$ der stetigen, reellwertigen Funktionen, versehen mit der Supremumsnorm $\|\,f\,\|_\infty:=\sup_{y\in [a,b]}\left(f(y)\right)$, ist ein Banachraum.
Die Supremumsnorm $\|\,.\,\|_\infty$ wird manchmal auch $\mathcal C^0$-Norm genannt und mit $\|\,.\,\|_{\mathcal C^0}$ bezeichnet.
Beweis. Es sei $(f_n)$ eine Cauchy-Folge in $\mathcal C^0([a,b],\mathbb R)$. Für jedes $x\in [a,b]$ ist wegen $$|f_n(x)-f_m(x)|\le \|f_n-f_m\|_\infty$$ die Folge $(f_n(x))_{n\in\mathbb N}$ eine Cauchy-Folge in $\mathbb R$. Da $\mathbb R$ vollständig ist, konvergiert diese Folge. Wir können also eine Grenzfunktion $f\colon [a,b]\to \mathbb R$ definieren durch $$f(x):=\lim_{n\to\infty}f_n(x).$$ Die Folge $(f_n)$ konvergiert gegen $f$: Sei dazu $\varepsilon \gt 0$ vorgegeben. Dann existiert ein $N\in \mathbb N$ derart, dass für alle $n,m\ge N$ gilt $\|f_n-f_m\|_\infty\lt \frac{\varepsilon}2$. Insbesondere gilt für alle $n\ge N$ dann $$\|f_n-f\|_\infty =\sup_{x\in [a,b]}|f_n(x)-f(x)|= \sup_{x\in [a,b]}\left(\lim_{m\to\infty}|f_n(x)-f_m(x)|\right)\le \sup_{x\in [a,b]}\left(\frac{\varepsilon}2\right)=\frac{\varepsilon}2\lt \varepsilon.$$ Aus dem obigen Satz folgt dann die Stetigkeit der Grenzfunktion $f$.
qed
5.5.7. Korollar. Der Raum $\mathcal C^k([a,b],\mathbb R)$ der $k$-mal stetig differenzierbaren, reellwertigen Funktionen, versehen mit der $\mathcal C^k$-Norm $\|\,f\,\|_{\mathcal C^k}:=\sum_{\kappa=0}^k\|f^{(\kappa)}\|_\infty$, ist ein Banachraum.
Beweis. Es sei $(f_n)$ eine Cauchy-Folge in $\mathcal C^k([a,b],\mathbb R)$. Wegen $
\|f^{(\kappa)}_n-f^{(\kappa)}_m\|_\infty \le \|f_n-f_m\|_{\mathcal C^k} $ sind die Folgen $(f_n^{(\kappa)})$ für jedes $\kappa\le k$ Cauchy-Folgen in $\mathcal C^0([a,b],\mathbb R)$, die nach 5.5.6 gleichmäßig gegen stetige Funktionen $f^{[\kappa]}$ konvergieren. Zu zeigen bleibt, dass für $0\lt\kappa\le k$ die Grenzfunktion $f^{[\kappa]}$ jeweils die Ableitung der Grenzfunktion $f^{[\kappa-1]}$ ist. Dazu fixieren wir ein $\kappa$ und, bis auf weiteres, $x,y\in [a,b]$ mit $x\not=y$. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung existiert ein $c_n\in [a,b]$ mit $$\frac{f^{(\kappa-1)}_n(x)-f^{(\kappa-1)}_n(y)}{x-y} =f_n^{(\kappa)}(c_n).$$ Nach Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge $(c_n)$ eine Teilfolge, welche gegen einen Grenzwert $c\in[a,b]$ konvergiert. Betrachten wir nur noch die $n$ aus dieser Teilfolge, so erhalten wir \begin{aligned}
\left| \frac{f^{[\kappa-1]}(x)-f^{[\kappa-1]}(y)}{x-y} -f^{[\kappa]}(c)\right|&=
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{f^{(\kappa-1)}_n(x)-f^{(\kappa-1)}_n(y)}{x-y} -f_n^{(\kappa)}(c)\right| \\
&\le \lim_{n\to\infty}\left| f_n^{(\kappa)}(c_n)-f_n^{(\kappa)}(c) \right| \\
&\le \lim_{n\to\infty}\left(\left|f_n^{(\kappa)}(c_n)-f^{[\kappa]}(c_n)\right| +\left| f^{[\kappa]}(c_n)-f^{[\kappa]}(c) \right|+\left|f^{[\kappa]}(c)-f_n^{(\kappa)}(c)\right|\right)\\ &=0.\end{aligned} Erster und dritter Summand in der vorletzten Zeile verschwinden wegen der gleichmäßigen Konvergenz der Funktionenfolgen, der mittlere Term verschwindet wegen der Stetigkeit von $f^{[\kappa]}$. Letztere Stetigkeit impliziert ebenfalls $$\left(f^{[\kappa-1]}\right)'(x)=
\lim_{y\to x}\frac{f^{[\kappa-1]}(x)-f^{[\kappa-1]}(y)}{x-y} =\lim_{c\to x}f^{[\kappa]}(c)=f^{[\kappa]}(x).$$qed
Der Raum $\mathcal C^\infty([a,b],\mathbb R)$ der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen kann, wie wir gesehen haben, mit einer Metrik der Form $$d(f,g)=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac1{2^n}\frac{\|f-g\|_{\mathcal C^n}}{1+\|f-g\|_{\mathcal C^n}}\right)$$ versehen werden. Es stellt sich heraus, dass diese Metrik vollständig ist. Allerdings stellt sich ebenfalls heraus, dass es keine Norm auf diesem Vektorraum gibt, der die gleiche Topologie induziert. Die obige Metrik ist translationsinvariant, lässt sich allerdings nicht skalieren. Derartige metrisierbare Vektorräume haben einen eigenen Namen:
Definition. Ein topologischer Vektorraum über $\mathbb K$ ist ein mit einer Topologie versehener Vektorraum, in dem die Vektoraddition und die Multiplikation mit Skalaren jeweils stetige Abbildungen sind. Ein topologischer Vektorraum heißt Fréchet-Raum, wenn er mit einer Metrik versehen werden kann, bezüglich der er vollständig ist.
Fréchet-Räume sind allgemeiner als Banach-Räume. Wir werden sie in dieser Vorlesung nicht weiter betrachten, obwohl sie durchaus interessant sind.