Wir identifizieren $\mathbb C=\mathbb R+i\mathbb R$ mit $\mathbb R^2$ vermittels $z=x+iy\mapsto (x,y)$. Eine komplex lineare Abbildung $A\colon \mathbb C\to \mathbb C$ ist gegeben durch die Multiplikation mit einer komplexen Zahl $a=\alpha +i\beta$. Betrachten wir $A$ als eine reell lineare Abbildung, so wird diese wegen $$a\cdot z=(\alpha +i\beta)(x+iy)=(\alpha x-\beta y)+i(\beta x +\alpha y)$$ durch die Matrix $$A_{\mathbb R}:=\left(\begin{matrix}\alpha&-\beta\\ \beta& \alpha \end{matrix}\right)$$ beschrieben, also $$Az\mapsto \left(\begin{matrix}\alpha&-\beta\\ \beta& \alpha \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}x\\ y \end{matrix}\right).$$
Es sei $X\subset \mathbb C$ offen, und $f\colon X\to \mathbb C$ eine Funktion. Wir setzen $u:=\Re f$ und $v:=\Im f$. Die Funktion $f$ wird also, betrachten wir sie als reelle Funktion $f_{\mathbb R}\colon \mathbb R^2\to \mathbb R^2$, beschrieben durch die Vorschrift $$f\colon x+iy\mapsto u(x,y)+iv(x,y).$$ Eine gängige Notation für die partiellen Ableitungen ist $u_x=\partial_1u(x,y)$ und $u_y=\partial_2(x,y)$.
6.1.6. Satz Die Funktion $f$ ist genau dann in $z_0=x_0+iy_0$ komplex ableitbar, wenn $f_{\mathbb R}$ in $(x_0,y_0)$ ableitbar ist und die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen $$u_x=v_y,\quad u_y=-v_x$$ erfüllt sind. In diesem Fall gilt $$f'(z_0)=u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0.y_0).$$
Beweis. Die Funktion $f$ ist genau dann komplex ableitbar, wenn die Ableitung $Df(z_0)$ komplex linear ist. In reeller Schreibweise gilt $$Df_{\mathbb R}(x_0,y_0)=
\left(\begin{matrix}\partial_1 u(x_0,y_0)&\partial_2 u(x_0,y_0)\\ \partial_1 v(x_0,y_0)&\partial_2 v(x_0,y_0)\end{matrix}\right)=
\left(\begin{matrix} u_x& u_y\\ v_x& v_y\end{matrix}\right).$$ Die Bedingung, dass die Jacobimatrix komplex linear ist, heisst aber nichts anderes als dass die Diagonalelemente gleich sind und ein Außerdiagonalelement das jeweils Negative des anderen ist.
qed