Wir betrachten wieder eine offene Menge $X$ in einem Banachraum $E$, sowie Abbildungen $f\colon X\to F$ in einen weiteren Banachraum $F$. Ist $f$ stetig differenzierbar, so ist $\partial f$ eine Funktion auf $X$ mit Werten im Banachraum $\mathcal L(E,F).$ Ist diese wiederum stetig differenzierbar, so erhalten wir eine zweite Ableitung $\partial^2f$ mit Werten im Banachraum $\mathcal L(E,\mathcal L(E,F)).$ Augenscheinlich werden die Bildräume höherer Ableitungen zunehmend kompliziert. Erstes Ziel wird also sein, diese Zielräume von höheren Ableitungen als Räume multilinearer Abbildungen zu verstehen.