3.4. Zerlegung der Eins

3.4.1. Definition. Sei $M$ eine glatte Mannigfaltigkeit und $\mathfrak U$ eine offene Überdeckung von $M$. Unter einer glatten, der Überdeckung $\mathfrak U$ subordinierten Zerlegung der Eins verstehen wir eine Familie $\{\tau_\alpha\}_{\alpha\in A}$ von $\mathcal C^\infty$-Funktionen $\tau_\alpha\colon M\to [0,1]$ mit den Eigenschaften:

1. Die Familie ist lokal endlich, das heißt zu jedem $m\in M$ existiert eine offene Umgebung $V_m$, so dass $\tau_\alpha\vert V_m=0$ für alle bis auf endlich viele $\alpha\in A$ gilt.
2. Es ist $\sum_{\alpha\in A}\tau_\alpha(m)=1$ für alle $m\in M$.
3. Für jedes $\alpha\in A$ gibt es ein $U\in \mathfrak U$, das den Träger $\mathrm{Tr}\,\tau_\alpha:=\overline{\left\{m\in M\mid \tau_\alpha(m)\not=0\right\}}\subset U$ enthält.

3.4.2. Satz. Zu jeder offenen Überdeckung einer glatten Mannigfaltigkeit $M$ gibt es eine subordinierte glatte Zerlegung der Eins.

Beweis. Wir gehen in mehreren Schritten vor.

1. Glatte Approximation einer charakteristischen Funktion. Für $1\gt \delta\gt 0$ definiert die Vorschrift $$f(t)=\begin{cases} \exp\left(\frac{-1}{(t-1)(1+\delta-t)}\right)&\text{ für } t\in (1,1+\delta)\\ 0&\text{ sonst.}\end{cases}$$ Dies definiert eine $\mathcal C^\infty$-Funktion $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$, für welche gilt $f(t)\gt 0 \iff 1\lt t\lt 1+\delta$. Die Funktion $$F(t):=1-\frac{\int_0^t f(\tau)\,d\tau}{\int_0^\infty f(\tau)\,d\tau}$$ ist ebenfalls glatt und es gilt $F(t)=0$ für $t\gt 1+\delta$ und $F(t)=1$ für $t\le 1$. Wir erhalten eine glatte Funktion $\psi\colon \mathbb R^n\to [0,1], x\mapsto F\left(\|x\|\right)$, für die gilt $\psi(x)=0$ für $\|x\|\gt 1+\delta$ und $\psi(x)=1$ für $\|x\|\lt 1$.
2. Kompakte Ausschöpfung. Es existiert eine Folge $K_1, K_2,\ldots $ von kompakten Teilmengen von $M$ mit $M=\cup_{k=1}^\infty K_k$, so dass für alle $k\in \mathbb N$ gilt: $K_k\subset \mathrm{Int}(K_{k+1})$, d.h. jedes Folgenglied ist im Inneren des nächsten Folgengliedes enthalten. Sei dazu $(V_j)_{j\in \mathbb N}$ eine Basis offener Mengen von $M$, so dass der Abschluss $\overline{V_j}$ jeweils kompakt ist. So eine Basis existiert, da $M$ lokal homöomorph zu $\mathbb R^n$ ist und jeder Punkt in $\mathbb R^n$ beliebig kleine kompakte Umgebungen besitzt. Wir konstruieren die Folge $K_k$ rekursiv: Setze $K_1:=\overline{V_1}$. Ist nun $K_k$ konstruiert, so sei $j$ minimal, so dass $K_k\subset \cup_{i=1}^j V_i$. Setze $$K_{k+1}:= \cup_{i=1}^{j+1}\overline{V_i}.$$
3. Subordinierte Kartenumgebungen. Für jedes $m\in M$ exisitieren beliebig kleine Kartenumgebungen $(U_m,x_m)$, so dass gilt $x_m(m)=0$ und $x_m(U_m)=\{y\in \mathbb R^n\mid \|y\|\lt 2\}$ und $U_m\subset U$ für ein Element $U\in \mathfrak U$: Ist $(U,x)$ eine Kartenumgebung um $m$, so können wir durch Translation und lineare Streckungen des Bildes, sowie Einschränkungen auf offene Teilmengen diese Eigenschaften erzwingen. Unter diesen Kartenumgebungen wählen wir uns eine lokal endliche Teilmenge wie folgt aus: Für jedes $i$ und jedes $m\in \mathrm{Int}(K_{i+2}\setminus K_{i-1}$ sei $U_m$ enthalten in $\mathrm{Int}(K_{i+2}\setminus K_{i-1}$. Wir setzen $W_m:=x_m^{-1}(B_1(0))$. Wegen dere Kompaktheit von $K_{i+1}\setminus \mathrm{Int}(K_i)$ lässt sich diese Menge mit endlich vielen $W_{m_1,i},\ldots, W_{m_k,i}$der $W_m$ überdecken. Die Menge $\mathfrak B$ der derart bestimmten Überdeckung von $M$ durch die entsprechenden $U_{m_s,i}$ ist lokal endlich und der vorgegebenen Überdeckung $\mathfrak U$ subordiniert.
4. Für jedes der $(U_\alpha,x_\alpha)$ mit $\alpha\in \mathfrak B$ in der so konstruierten Überdeckung setzen wir $$\rho_\alpha(p)=\begin{cases}\psi\circ x_\alpha(p)&p\in U_\alpha\\ 0&p\in M\setminus U_\alpha\end{cases}$$ und schließlich $\tau_\alpha\colon M\to [0,1]$ durch $$\tau_\alpha(m):=\frac{\rho_\alpha(m)}{\sum_{\beta\in \mathfrak B}\rho_\beta(m)}.$$

qed