Es sei $(Y,d)$ ein metrischer Raum, versehen mit der Borelschen $\sigma$-Algebra $\mathfrak B(Y)$.
2.1.1. Notation. Es bezeichne
- $\mathcal {EF}(X,Y)$ die Menge der einfachen Abbildungen, das heißt derjenigen Abbildungen mit $f(X)\subset Y$ endlich und $f^{-1}(y)\in \mathfrak A$ für alle $y\in Y$.
- $\overline{\mathcal {EF}}(X,Y)$ die Menge derjenigen Abbildungen $f$, für die es eine Folge $(f_j)_{j\in \mathbb N}$ in $\mathcal {EF}(X,Y)$ gibt mit $\lim_{j\to\infty} f_j(x)=f(x)$ für alle $x\in X$.
- $\mathcal M(X,Y)$ die Menge der messbaren Abbildungen $f\colon X\to Y$, also derjenigen Abbildungen mit $f^{-1}(B)\in \mathfrak A$ für alle $B\in \mathfrak B(Y)$.
Hinsichtlich der intendierten Konstruktion des Integrals ist es interessant, inwieweit sich die beiden Mengen $\overline{\mathcal {EF}}(X,Y)$ und $\mathcal M(X,Y)$ unterscheiden.
2.1.2. Bemerkungen.
- Nach 1.2.7. gilt $\mathcal {EF}(X,Y)\subset \overline{\mathcal {EF}}(X,Y)\subset \mathcal M(X,Y)$.
- Der metrische Raum $Y$ heißt $\sigma$-kompakt, wenn es eine aufsteigende Folge $(K_j)_{j\in \mathbb N}$ kompakter Unterräume gibt mit $\cup_{j=1}^\infty K_j=Y$. Die Räume $\mathbb R^n$ für $n\in \mathbb N$ sind offenbar $\sigma$-kompakt. Eine Modifikation des Beweises von 1.2.9 zeigt $\overline{\mathcal {EF}}(X,Y) = \mathcal M(X,Y)$ für jeden $\sigma$-kompakten Raum $Y$.
- Ist $f\in \overline{\mathcal {EF}}(X,Y)$, so ist $f(X)\subset Y$ ein separabler Unterraum, denn $f(X)$ ist im Abschluss der abzählbaren Teilmenge $S=\cup_{j=1}^\infty f_j(X)\subset Y$ enthalten.
- Der Raum $\ell^\infty$ der beschränkten (reellen oder komplexen) Folgen ist, versieht man ihn mit der Supremumsnorm, ein nicht separabler Banachraum. Die identische Abbildung $\mathrm{id}_{\ell^\infty}\colon \ell^\infty\to\ell^\infty$ ist stetig, folglich messbar bezüglich der Borelschen $\sigma$-Algebra. Es gilt aber offenbar $$\mathrm{id}_{\ell^\infty}\in \mathcal M(\ell^\infty,\ell^\infty)\setminus \overline{\mathcal {EF}}(\ell^\infty,\ell^\infty).$$
Die Diskussion benutzte bislang an keiner Stelle das Maß $\mu$, sondern nur die zugrundeliegende $\sigma$-Algebra. Dies ändert sich mit dem folgenden Satz:
2.1.3. Proposition. Es sei $Y$ ein separabler metrischer Raum. Dann gilt $f\in \mathcal M(X,Y)$ genau dann, wenn es ein $g\in \overline{\mathcal {EF}}(X,Y)$ gibt, so dass die Menge $N:=\{x\in X\mid f(x)\neq g(x)\}$ eine $\mu$-Nullmenge ist.
Beweis.
- Es sei $f\colon X\to Y$ eine Abbildung und $g\in \overline{\mathcal {EF}}(X,Y)$. Ist die Menge $N:=\{x\in X\mid f(x)\neq g(x)\}$ eine $\mu$-Nullmenge, so zerlegen wir für $B\in \mathfrak B(Y)$ das Urbild \begin{align}f^{-1}(B)&= \left(f^{-1}(B)\cap N\right)\sqcup \left(f^{-1}(B)\cap (X\setminus N)\right)\\
&= \left(f^{-1}(B)\cap N\right)\sqcup \left(g^{-1}(B)\cap (X\setminus N)\right)\end{align} Der erste Term $f^{-1}(B)\cap N\subset N$ ist wegen der Vollständigkeit von $\mathfrak A$ messbar. Der zweite Term $g^{-1}(B)\cap (X\setminus N)$ ist wegen der Messbarkeit von $g$ messbar. Dies zeigt die eine Richtung. - Es sei $f\in \mathcal M(X,Y)$. Wir betrachten zuerst den Fall $\mu(X)\lt \infty$. Es sei $\{e_j\mid j\in \mathbb N\}$ eine dichte Teilmenge in $Y$, und $A_{j,n}:=f^{-1}\left(U_{\frac1{n}}(e_j)\right)\in \mathfrak A$. Für jedes $n\in \mathbb N$ überdecken die $A_{j,n}$ den Raum $X$. Wegen $\mu(X)\lt\infty$ gibt es eine Zahl $m_n\in \mathbb N$ mit $$B_n:=X\setminus \left(\cup_{j=1}^{m_n} A_{j,n}\right)\in \mathfrak A \quad\text{ so dass gilt } \quad \mu\left(B_n\right)\lt \frac1{2^{n+1}}.$$ Die absteigende Folge $C_n:=\cup_{k=n}^\infty B_k$ erfüllt $$\mu\left(C_n\right) \le \sum_{k=n}^\infty\mu\left(B_k\right)\lt \frac1{2^n}.$$ Folglich ist $N:=\cap_{n\in \mathbb N}C_n$ eine $\mu$-Nullmenge. Wir definieren nun $$g_n(x):=\begin{cases}e_1,&x\in A_{1,n}\cup C_n\\e_j,&x\in \left(A_{j,n}\setminus \cup_{k=1}^{j-1}A_{k,n}\right)\setminus C_n,&1\lt j\le m_n.\end{cases}$$ Dann ist $\left(g_n\right)_{n\in\mathbb N}$ eine Folge in $\mathcal{EF}(X,Y)$. Ist $x\in X\setminus N$, so gibt es ein $n_0$, so dass für alle $n\ge n_0$ gilt $x\in \left(X\setminus C_n\right)\subset\left( \cup_{j=1}^{m_n}A_{j,n}\setminus C_n\right)$. Folglich gilt für alle $n\ge n_0$ die Abschätzung $$d\left(g_n(x),f(x)\right)\lt \frac1n.$$
- Es sei $f\in \mathcal M(X,Y)$ und $\mu(X)= \infty$. Wegen der $\sigma$-Endlichkeit von $\mu$ existiert eine Folge $(X_j)$ paarweise disjunkter Mengen in $\mathfrak A$ mit $\mu\left(X_j\right)\lt \infty$, welche $X$ überdecken. Nach dem zweiten Schritt gibt es zu jedem $j\in \mathbb N$ eine Folge $\left(g_{j,k}\right)_{k\in \mathbb N}$ in $\mathcal{EF}(X,Y)$ und eine $\mu$-Nullmenge $N_j$ mit $\lim_kg_{j,k}(x)=f(x)$ für $x\in X_j\setminus N_j$. Setzen wir $N=\cup_j N_j$ und $$g_k(x):=\begin{cases}g_{j,k}(x),&x\in X_j,&j\le k \\ e_1,&x\in\sqcup_{j=k+1}^\infty X_j,\end{cases}$$ für $k\in \mathbb N$, so gilt $g_n\in \mathcal{EF}(X,Y)$ und $\lim_k g_k(x)=f(x)$ für $x\in X\setminus N$.
qed
Im Folgenden bezeichne $\left(E,\|\,.\,\|\right)$ einen reellen oder komplexen Banachraum.
2.1.4. Definition. Eine Funktion $f\colon X\to E$ heißt
2.1.5. Bemerkungen.
- Unsere generelle Annahme der $\sigma$-Endlichkeit des Maßraum $(X,\mathfrak A,\mu)$ bewirkt, dass für eine messbare Funktion $f\in \mathcal M(X,E)$ gilt: Existiert eine Folge $(g_j)$ in $\mathcal {EF}(X,E)$, die punktweise gegen $f$ konvergiert, so existiert auch eine Folge $(h_j)$ in $\mathcal {EF}(X,\mu,E)$, welche punktweise gegen $f$ konvergiert. Denn ist $(A_j)$ eine aufsteigende Folge in $\mathfrak A$ mit $X=\cup_jA_j$, so liefert Multiplikation mit den charakteristischen Funktionen $h_j=\chi_{A_j}\cdot g_j$ das Gewünschte.
- Mit dieser Bemerkung folgt aus 2.1.3. für separable Banachräume $E$ die Gleichheit $$\mathcal L_0(X,\mu,E)=\mathcal M(X,E).$$
- Der Raum $\mathcal {EF}(X,\mu,E)$ ist ein Vektorraum bezüglich der punktweisen Addition und Multiplikation mit Skalaren.
- Ist $E$ ein Banachraum über dem Körper $\mathbb K\in \{\mathbb R, \mathbb C\}$, so ist $\mathcal L_0(X,\mu,E)$ ist ein Modul über der Algebra $\mathcal L_0(X,\mathbb K)$. Zu zeigen ist dazu, dass für $v,w\in \mathcal L_0(X,\mu,E)$ und $f,g\in \mathcal L_0(X,\mathbb K)$ die punktweise definierten Abbildungen $v+w$, $fv$ und $fg$ wieder in den entsprechenden Räumen liegen. Da Addition, Skalarmultiplikation in $E$ und Multiplikation in $\mathbb K$ stetig sind, erhalten sie insbesondere die punktweise Konvergenz. Sind $(v_n),(w_n),(f_n),(g_n)$ Folgen $\mu$-einfacher Abbildungen, die $\mu$-f.ü. gegen die entsprechenden Grenzfunktionen konvergieren, so konvergieren die Folgen $(v_n+w_n), (f_nv_n)$ und ($f_ng_n)$ von $\mu$-einfachen Abbildungen $\mu$-f.ü. gegen die entsprechenden Grenzfunktionen.