Wir brauchen handhabbare Kriterien, um entscheiden zu können, ob eine Funktion integrierbar ist. Im ersten Schritt betrachten wir eine alternative Konstruktion des Integrals im Falle reeller Funktionen.
2.3.1. Definition. Eine Funktion $f\colon X\to \overline{\mathbb R}=\mathbb R\cup \{\pm\infty\}=[-\infty,\infty]$ heißt messbar numerisch, falls $f^{-1}(\infty)$, $f^{-1}(-\infty)$ und $f^{-1}(U)$ in $\mathfrak A$ sind für jede offene Teilmenge $U\subset \mathbb R.$
2.3.2. Bemerkung. Wir können die bijektive, streng monotone Funktion \begin{align}\alpha\colon [-\infty,\infty]&\to [-1,1]\\ r&\mapsto \begin{cases}-1,&r=-\infty\\
\frac2\pi \arctan(r), &r\in \mathbb R,\\ 1,& r=\infty\end{cases} \end{align} benutzen, um $\overline{\mathbb R}$ mit einer Topologie $\mathcal T=\{\alpha^{-1}(U)\mid U\subset \mathbb R\text{ offen}\}$ zu versehen. Die Mengen $U_\varepsilon(\pm\infty)=\left\{r\in \overline{\mathbb R}\mid \pm r\gt\frac1\varepsilon\right\} $ sind in dieser Topologie Umgebungen von $\pm\infty$. Die messbaren numerischen Funktionen sind gerade die messbaren bezüglich der Borelschen $\sigma$-Algebra zu dieser Topologie. Die Menge $\mathcal M(X,\overline{\mathbb R})$ der messbaren numerischen Funktionen können wir vermittels der Abbildung \begin{align}\alpha_*\colon \mathcal M(X,\overline{\mathbb R})&\to \mathcal M(X,[-1,1])\subset \mathcal M(X,\mathbb R)\\f&\mapsto \alpha\circ f\end{align} mit der Menge der messbaren Funktionen $g\colon X\to [-1,1]$ identifizieren. Die Umkehrfunktion \begin{align}\tau_*\colon \mathcal M(X,[-1,1])&\to \mathcal M(X,\overline{\mathbb R})\\f&\mapsto \tau\circ f\end{align} ist definiert durch \begin{align}\tau\colon [-1,1]&\to [-\infty,\infty]\\ t&\mapsto \begin{cases}-\infty,&t=-1\\
\tan\left(\frac\pi2 t\right), &|t|\lt 1\\ \infty,& t=1.\end{cases} \end{align}
2.3.3. Definition. Für eine messbare numerische Funktion $f\colon X\to [0,\infty]$ nennen wir den Wert $$\sup\left\{
\int_X\psi\,d\mu\,\middle| \,\psi\in\mathcal{EF}\left(X,\mu,[0,\infty)\right), \psi\le f\right\}\in [0,\infty]$$ das Lebesgue-Integral von $f$ bezüglich $\mu$ und bezeichnen ihn, wie auch das Bochner-Lebesguesche Integral, mit $$\int_Xf\,d\mu.$$
Lebesgue-Integral und Bochner-Lebesgue-Integral stimmen in den Fällen, in denen beide definiert sind, überein. Das ist eine Konsequenz des nächsten Satzes. In diesem benutzen wir zur Unterscheidung der beiden Begriffe für das Lebesguesche Integral die Notation $$s_\mu(f):=\sup\left\{
\int_X\psi\,d\mu\,\middle| \,\psi\in\mathcal{EF}\left(X,\mu,[0,\infty)\right), \psi\le f\right\}\in [0,\infty].$$
2.3.4. Proposition. Es sei $f\colon X\to [0,\infty]$ eine messbare numerische Funktion.
- Es existiert eine wachsende Folge $\mu$-einfacher Funktionen $(f_j)_{j\in \mathbb N}$, welche punktweise gegen $f$ konvergiert.
- Ist $(f_j)_{j\in \mathbb N}$ eine wachsende Folge $\mu$-einfacher Funktionen, die punktweise gegen $f$ konvergiert, so gilt $$\lim_{j\to\infty}\int_Xf_j\,d\mu=s_\mu(f)$$
- Es gilt $s_\mu(f)\lt\infty$ genau dann, wenn es ein $g\in \mathcal L_1(X,\mu,\mathbb R)$ gibt mit $f=g$ $\mu$-f.ü. Ist $s_\mu(f)\lt \infty$, so stimmen Bochner-Lebesguesches Integral und Lebesguesches Integral überein $$\int_Xg\,d\mu=s_\mu(f).$$
Beweis.
- Nach 1.2.10. existiert eine monoton steigende Folge einfacher Funktionen $$\phi_j\in \mathcal {EF}\left(X\setminus f^{-1}(\infty),[0,\infty)\right),$$ welche punktweise gegen $f\vert_{X\setminus f^{-1}(\infty)}$ konvergiert. Ist $(A_j)_{j\in \mathbb N}$ eine wachsende Folge messbarer Mengen mit $\mu(A_j)\lt \infty$ und $\cup_{j\in \mathbb N}A_j=X$, so definiert $$f_j\colon x\mapsto \begin{cases} \left(\phi_j\chi_{A_j}\right)(x)&x\in X\setminus f^{-1}(\infty)\\ j\chi_{A_j}(x)&x\in f^{-1}(\infty)\end{cases}$$ eine monoton wachsende Folge $(f_j)$ mit $f_j\in \mathcal {EF}\left(X,\mu,[0,\infty)\right)$, welche punktweise gegen $f$ konvergiert.
- Wir zeigen folgende Hilfsaussage: Sind $f_j,\psi\in \mathcal {EF}\left(X,\mu,[0,\infty)\right)$ für $j\in\mathbb N$ mit $(f_j)_{j\in\mathbb N}$ wachsend und $\psi\le\lim_jf_j$. Dann gilt $$\int_X\psi\,d\mu\le \lim_j\int_Xf_j\,d\mu.$$ Dazu sei $\lambda\gt 1$ und $$B_j:=\left\{x\in X\,\middle|\,\lambda f_j(x)\ge\psi(x)\right\}\quad\text{ für }j\in\mathbb N.$$ Es gilt $B_j\in \mathfrak A$. Da $(f_j)_j$ eine wachsende Folge ist und $\lambda\gt 1$, folgt $B_j\subset B_{j+1}$ und $\cup_{j\in\mathbb N}B_j=X$. Da Grenzwertbildung mit endlichen Summen vertauscht, gilt $$\int_X\psi\,d\mu=\sum_{r\in[0,\infty)}\mu\left(\psi^{-1}(r)\right)r=\lim_{j\to\infty}\sum_{r\in[0,\infty)}\mu\left(\psi^{-1}(r)\cap B_j\right)r=\lim_{j\to\infty}\int_X\chi_{B_i}\psi\,d\mu.$$ Aus der Abschätzung $\chi_{B_j}\psi\le \lambda f_j$ folgern wir $$\int_X\psi\,d\mu = \lim_{j\to\infty}\int_X\chi_{B_i}\psi\,d\mu\le \lambda\cdot\lim_{j\to\infty}\int_X f_j\,d\mu.$$ Dies gilt für alle $\lambda\gt 1$. Nach Grenzwertbildung $\lambda \searrow 1$ folgt die Hilfsaussage.
Konvergiert die wachsende Folge $(f_j)$ von $\mu$-einfachen Funktionen punktweise gegen $f$, so gilt nach Definition $\int_Xf_j\,d\mu\le s_\mu(f)$ für jedes $j\in \mathbb N$, und folglich auch $\lim_{j\to\infty}\int_X f_j\,d\mu\le s_\mu(f)$. Die Hilfsaussage liefert die umgekehrte Abschätzung $s_\mu(f)\le \lim_{j\to\infty}\int_X f_j\,d\mu$. - Ist $f=g$ $\mu$-f.ü. für ein $g\in \mathcal L_1(X,\mu,\mathbb R)$, so können wir, eventuell nach Abändern von $g$ auf einer $\mu$-Nullmenge, annehmen, dass $g\ge 0$ gilt. Da $g$ $\mu$-integrierbar ist, ist $\int_Xg\,d\mu$ definiert und wegen $g\ge 0$ eine nicht-negative reelle Zahl. Ist $\psi$ eine nicht-negative, reelle $\mu$-einfache Funktion mit $\psi\le g$, so gilt $\int_X\psi\,d\mu\le \int_Xg\,d\mu$. Folglich gilt $s_\mu(f)=s_\mu(g)\le \int_Xg\,d\mu\lt\infty$.
Ist umgekehrt $s_\mu(f)\lt \infty$, so gibt es nach i. eine wachsende Folge $(f_j)$ von $\mu$-einfachen Funktionen, die punktweise gegen $f$ konvergiert. Nach ii. konvergiert die Folge $\left(\int_Xf_j\,d\mu\right)_{j\in \mathbb N}=\left(\|f_j\|_1\right)_{j\in \mathbb N}$ mit Grenzwert $s_\mu(f)$. Insbesondere ist sie Cauchy bezüglich der Seminorm $\|\,.\,\|_1$. Aus der Voraussetzung $s_\mu(f)\lt \infty$ folgt weiterhin, dass $f^{-1}(\infty)$ eine $\mu$-Nullmenge ist. Setzen wir $$g(x):=\begin{cases} f(x)&x\in X\setminus f^{-1}(\infty)\\0&x\in f^{-1}(\infty),\end{cases}$$ so gilt $f=g$ $\mu$-f.ü. und $g\in \mathcal L_1(X,\mu,\mathbb R)$.
Wir können nun das gleiche Argument auf $g$ anwenden: Nach i. existiert eine wachsende, gegen $g$ punktweise f.ü. konvergente Folge $(g_j)$ $\mu$-einfacher Funktionen. Da $g-g_j\ge 0$ gilt für alle $j\in \mathbb N$, bilden die Integrale $\int_Xg_j\,d\mu$ eine beschränkte, wachsende Folge nicht-negativer reeller Zahlen. Diese ist folglich konvergent und damit eine Cauchy-Folge. Insbesondere ist die Folge $(g_j)$ Cauchy bezüglich $\|\,.\,\|_1$ und nach ii. gilt $$\int_Xg\,d\mu=\lim_j\int_Xg_j\,d\mu=s_\mu(g)=s_\mu(f).$$
qed
2.3.5. Lemma. Es sei $J$ eine abzählbare Menge und für jedes $j\in J$ sei $f_j\colon X\to\overline{\mathbb R}$ eine messbare numerische Funktion. Dann sind $ \sup_{j\in J}f_j$ und $\inf_{j\in J}f_j$ ebenfalls messbar numerisch. Ist $J=\mathbb N$, so sind außerdem $\limsup_{j\to\infty}f_j$ und $\liminf_{j\to\infty}f_j$ messbar numerisch.
Beweis. Wie in einer Übungsaufgabe zu zeigen ist, reicht es für den Nachweis der Messbarkeit einer numerischen Funktion $f\colon X\to\overline{\mathbb R}$, zu zeigen, dass für jedes $\alpha\in \mathbb R$ die Menge $\{ x\in X\mid f(x)\gt\alpha \}$ messbar ist. Aus der Messbarkeit der $f_j$ folgt wegen der Identität $$
\left\{x\in X\,\middle|\,\sup_{j\in J} f_j(x)\gt\alpha\right\}=\bigcup_{j\in J} \left\{x\in X\,\middle|\, f_j(x)\gt\alpha\right\} $$ die Messbarkeit von $ \sup_{j\in J}f_j$. Hieraus folgt die Messbarkeit von $\inf_{j\in J}f_j=-\left(\sup_{j\in J}(-f_j)\right)$, sowie die Messbarkeit von $$\liminf_{j\to\infty}f_j=\sup_{j\in \mathbb N}\left(\inf_{k\ge j}f_k\right)\quad\text{ und }\quad \limsup_{j\to\infty}f_j=\inf_{j\in \mathbb N}\left(\sup_{k\ge j}f_k\right).$$qed
2.3.6. Theorem. Es sei $(f_j)_{j\in \mathbb N}$ eine Folge messbarer numerischer Funktionen $f_j\colon X\to [0,\infty]$. Dann gilt für die Lebesgueschen Integrale:
- (Satz über die monotone Konvergenz) Ist $(f_j)$ ein wachsend, so gilt $$\int_X\lim_{j\to\infty}f_j\,d\mu=\lim_{j\to\infty}\int_Xf_j\,d\mu.$$
- (Lemma von Fatou) Es gilt $$\int_X\liminf_{j\to\infty}f_j\,d\mu \le \liminf_{j\to\infty}\int_Xf_j\,d\mu . $$
- Es sei $g\colon X\to[0,\infty]$ messbar und $\int_Xg\,d\mu\lt \infty$. Gilt $f_j\le g$ $\mu$-f.ü. für $j\in\mathbb N$, so folgt $$\limsup_{j\to\infty}\int_Xf_j\,d\mu \le \int_X\limsup_{j\to\infty}f_j\,d\mu.$$
Beweis.
- Es sei $f=\lim_jf_j$. Wegen $f_j\le f$ für alle $j\in \mathbb N$ gilt $$\left\{\psi\in\mathcal{EF}\left(X,\mu,[0,\infty)\right)\mid \psi\le f\right\}\supset \bigcup_{j\in \mathbb N}\left\{\psi\in\mathcal{EF}\left(X,\mu,[0,\infty)\right)\mid \psi\le f_j\right\}$$ und folglich $$\int_Xf\,d\mu\ge \lim_j\int_Xf_j\,d\mu.$$ Wegen 2.3.4.i. existiert für jedes $j$ eine wachsende Folge $(f_{jk})_k$ von $\mu$-einfachen Funktionen, die punktweise gegen $f_j$ konvergiert. Es sei $F_k:=\max\{f_{jk}\mid j\le k\}$. Dann ist $(F_k)_{k\in \mathbb N}$ eine wachsende Folge $\mu$-einfacher Funktionen, welche punktweise gegen $f$ konvergiert. Wegen 2.3.4.ii. und der Abschätzung $F_k\le f_k$ für jedes $k\in \mathbb N$ erhalten wir $$\int_Xf\,d\mu =\lim_k\int_XF_k\,d\mu\le \lim_k\int_Xf_k\,d\mu.$$
- Es sei $g_j:=\inf_{k\ge j}f_k$. Dann ist die Folge $(g_j)_{j\in \mathbb N}$ wachsend und es gilt $\lim_j g_j=\liminf_jf_j$. In der Abschätzung $$\int_X\liminf_jf_j\,d\mu=\lim_j\int_Xg_j\,d\mu\le \lim_j\left(\inf_{k\ge j}\int_Xf_k\,d\mu\right)=\liminf_j\int_Xf_j\,d\mu$$ benutzen wir zuerst den Satz über die monotone Konvergenz, dann die Abschätzung $g_j\le f_k$ für alle $k\ge j$, und zuletzt die Definition.
- Es sei $N$ eine $\mu$-Nullmenge mit $f_j(x)\le g(x)$ für alle $x\in X\setminus N$ und $j\in \mathbb N$. Wegen $\int_Xg\,d\mu\lt \infty$ muss auch $g^{-1}(\infty)$ eine Nullmenge sein. Folglich gilt für $X_0:=X\setminus \left(N\cup g^{-1}(\infty)\right)$ die Gleichung $\int_{X_0}\phi\,d\mu=\int_X\phi\,d\mu$ für alle $\mu$-messbaren Funktionen $\phi$. Wir können nun das Lemma von Fatou anwenden auf die Folge $(h_j)$ von Funktionen $h_j=(g-f_j)\colon X_0\to [0,\infty)$ und erhalten $$\int_{X_0}g\,d\mu-\int_{X_0}\limsup_jf_j\,d\mu =\int_{X_0}\liminf_jh_j\,d\mu\le \liminf_j\int_{X_0}h_j\,d\mu =\int_{X_0}g\,d\mu -\limsup_j\int_{X_0}f_j\,d\mu.$$
qed
2.3.7. Satz von Lebesgue. Es seien $(f_j)$ eine Folge in $\mathcal L_1(X,\mu,E)$ und $g\in\mathcal L_1(X,\mu,\mathbb R)$ und $f\colon X\to E$ eine Funktion. Es gelte
- $|f_j|\le g$ $\mu$-f.ü. für $j\in\mathbb N$,
- $f_j\to f$ $\mu$-f.ü. für $j\to\infty$.
Dann ist $f$ $\mu$-integrierbar, und es gelten $$f_j\to f \text{ in } L_1(X,\mu,E)\quad\text{ und }\quad \int_Xf_j\,d\mu\to\int_Xf\,d\mu \text{ in } E.$$
Beweis. Die Funktionen $g_j:=\sup_{k,l\ge j}|f_k-f_l| $ sind $\mu$-messbar und nicht-negativ für $j\in \mathbb N$, und konvergieren für $j\to\infty$ $\mu$-f.ü. gegen $0$. Es gelten $\mu$-f.ü. die Abschätzungen: $|f_k-f_\ell|\le 2g$ und folglich $|g_j|\le 2g$ für alle $j,k,\ell\in \mathbb N$. Wir können also 2.3.6.iii. anwenden und erhalten $$0\le\limsup_j\int_Xg_j\,d\mu\le\int_X\limsup_jg_j\,d\mu=0.$$ Insbesondere ist $\left(\int_Xg_j\,d\mu\right)_{j\in\mathbb N}$ eine Nullfolge. Für jedes $\varepsilon\gt 0$ existiert also ein $N\in \mathbb N$ mit $$\|f_k-f_\ell\|_1=\int_X|f_k-f_\ell|\,d\mu\le\int_Xg_N\,d\mu\lt\varepsilon \quad\text{ für alle } k,\ell\ge N.$$ Das heißt, die Folge $(f_j)$ ist Cauchy bezüglich $\|\,.\,\|_1$. Der punktweise $\mu$-f.ü. Grenzwert $f$ repräsentiert nach 2.2.8 den Grenzwert der Cauchy-Folge in $L_1(X,\mu,E)$. Die Konvergenz der Integrale folgt aus der Stetigkeit des Integrals als lineare Abbildung $L_1(X,\mu,E)\to E$.
qed
2.3.8. Satz. Für eine $\mu$-messbare Funktion $f\in\mathcal L_0(X,\mu,E)$ sind folgende Aussage äquivalent:
- $f\in\mathcal L_1(X,\mu,E)$,
- $|f|\in\mathcal L_1(X,\mu,\mathbb R)$,
- $\int_X|f|\,d\mu\lt\infty$.
Beweis. Die Äquivalenz von ii. und iii. wurde bereits in 2.3.4.iii. gezeigt. Für die Implikation i. $\Rightarrow$ ii. betrachten wir die Abbildung $$|\,.\,|\colon\mathcal {EF}(X,\mu,E)\to\mathcal{EF}(X,\mu,\mathbb R);\quad \psi\mapsto |\psi|.$$ Die umgekehrte Dreiecksgleichung $$\left\|\left(|\psi_1|-|\psi_2|\right)\right\|_1=\int_X \big||\psi_1|-|\psi_2|\big|\,d\mu\le \int_X\left|\psi_1-\psi_2\right|\,d\mu=\left\|\psi_1-\psi_2\right\|_1$$ besagt, dass die Abbildung $|\,.\,|$ Lipschitz-stetig und insbesondere gleichmäßig stetig ist bezüglich der Seminorm $\|\,.\,\|_1$ auf beiden Räumen. Wegen der universellen Eigenschaft der Vervollständigung setzt sich diese Abbildung eindeutig zu einer Abbildung $|\,.\,|\colon L_1(X,\mu,E)\to L_1(X,\mu,\mathbb R)$ zwischen den Vervollständigungen der Räume fort. Die Implikation i. $\Rightarrow$ ii. folgt.
Zum Beweis der Implikation ii. $\Rightarrow$ i. starten wir mit einer Folge $(g_j)_{j\in \mathbb N}$ von $\mu$-einfachen Funktionen $g_j\colon X\to E$, welche punktweise $\mu$-f.ü. gegen $f$ konvergiert. Es sei $$A_j:=\{x\in X\mid |g_j(x)|\le 2|f(x)|\}\quad\text{ und }\quad f_j:=\chi_{A_j}g_j.$$ Wir zeigen zuerst, dass die Folge $(f_j)$ punktweise $\mu$-f.ü. gegen $f$ konvergiert. Es sei $N\subset X$ eine $\mu$-Nullmenge, so dass die Folge $(g_j)$ auf $X\setminus N$ punktweise gegen $f$ konvergiert. Sei $x\in X\setminus N$ gegeben. Ist $f(x)\not=0$, so gibt es ein $k\in \mathbb N$ mit $|g_j(x)-f(x)|\lt |f(x)|$ für alle $j\ge k$. Folglich ist $x\in A_j$ und $f_j(x)=g_j(x)$ für alle $j\ge k$. Also konvergiert die Folge $\left(f_j(x)\right)_j$, wie die Folge $\left(g_j(x)\right)_j$ auch, gegen $f(x)$. Ist $f(x)=0$, so ist nach Konstruktion $f_j(x)=0$ für alle $j\in\mathbb N$. Insgesamt konvergiert die Folge $(f_j)$ punktweise $\mu$-f.ü. gegen $f$. Nach Konstruktion gilt $\mu$-f-ü. außerdem die Abschätzung $|f_j|\le 2|f|$ für alle $j\in\mathbb N$. Wegen $2|f|\in\mathcal L_1(X,\mu,\mathbb R)$ folgt die Behauptung aus dem Satz von Lebesgue.
qed
Zum Abschluss dieses Paragraphen soll das Lebesgue-Integral für reellwertige Funktionen erklärt werden. Es sei $f\colon X\to \overline{\mathbb R}$ eine messbare numerische Funktion. Wir definieren $f^+:=\max\{f,0\}$ und $f^-:=\max\{-f,0\}$. Dann ist $f=f^+-f^-$ und $|f|=f^++f^-$.
Definition. Eine messbare numerische Funktion $f$ heißt Lebesgue-integrierbar, wenn gilt $\int_X|f|\,d\mu\lt\infty$. Für eine solche Funktion ist das Lebesgue-Integral definiert als $$\int_Xf\,d\mu:=\int_Xf^+\,d\mu-\int_Xf^-\,d\mu.$$