2.6.1. Definition. Es sei $(X,\mathfrak A,\mu)$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum.
- Ist $(Y,\mathfrak B)$ ein messbarer Raum und $t\colon X\to Y$ messbar, so ist das Bildmaß $t_\ast\mu$ definiert durch $$t_\ast\mu\colon \mathfrak B\to [0,\infty]\quad t_\ast\mu(B):=\mu\left(t^{-1}(B)\right).$$
- Ist $f\colon X\to [0,\infty]$ eine messbare Funktion, so ist das Maß mit Dichte $f$ definiert durch $$f\odot \mu\colon \mathfrak A\to [0,\infty],\qquad A\mapsto \int_X\chi_A\cdot f\,d\mu.$$
2.6.2. Bemerkungen.
- Die $\sigma$-Additivität von $t_\ast\mu$ folgt aus der von $\mu$: Ist $(B_j)_{j\in J}$ eine abzählbare Menge paarweise disjunkter Mengen aus $\mathfrak B$, so bilden die Urbilder $\left(t^{-1}(B_j)\right)_{j\in J}$ eine abzählbare Menge paarweise disjunkter Mengen aus $\mathfrak A$ und es gilt $$t_\ast\mu\left(\sqcup_JB_j\right)=\mu\left(\sqcup_Jt^{-1}(B_j)\right)=\sum_J\mu\left(t^{-1}(B_j)\right)=\sum_Jt_\ast\mu\left(B_j\right).$$
- Die Zuordnung $\psi\mapsto \psi\circ t$ definiert eine lineare Abbildung $$t^\ast\colon\mathcal{EF}(Y,t_\ast\mu,E)\to \mathcal {EF}(X,\mu,E).$$ Für $\psi\in\mathcal{EF}(Y,t_\ast\mu,E)$ und $p\in[1,\infty)$ gilt \begin{align}\|t^\ast(\psi)\|_p&=
\left(\int_X\left|t^\ast(\psi)\right|^p\,d\mu\right)^\frac1p
=\left(\sum_{e\in E\setminus\{0\}}\mu\left(t^{-1}\left(\psi^{-1}(e)\right)\right)|e|^p\right)^\frac1p\\
&=\left(\int_Y\left|\psi\right|^p\,d\left(t_\ast\mu\right)\right)^\frac1p=\|\psi\|_p.\end{align} Somit ist $t^\ast$ bezüglich jeder $\|\,.\,\|_p$-Seminorm eine Isometrie. Ist $g\in\mathcal L_1(Y,t_\ast \mu,E)$, so folgt insbesondere $t^\ast(g):=g\circ t\in \mathcal L_1(X,\mu,E)$ und es gilt $$\int_Xt^\ast(g)\,d\mu=\int_Yg\,d\left(t_\ast\mu\right).$$ - Die $\sigma$-Additivität von $f\odot\mu$ ist unmittelbare Folge des Satzes über die monotone Konvergenz: Ist $A=\sqcup_{j=1}^\infty A_j$ eine disjunkte Vereinigung mit $A_j\in\mathfrak A$, so ist $f\cdot \chi_A$ der punktweise Grenzwert der monoton wachsenden Funktionenfolge $\lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^kf\cdot\chi_{A_j}$.
- Ist $g\colon X\to [0,\infty]$ eine weitere messbare Funktion, so gilt $$\int_X g\,d\left(f\odot\mu\right)=\int_Xgf\,d\mu\quad\text{ und folglich }\quad g\odot\left(f\odot\mu\right)=(gf)\odot\mu.$$ Ist nämlich $g=\sum_j\lambda_j\chi_{A_j}$ eine einfache Funktion, so folgt die Gleichung aus der Definition und der Linearität des Integrals. Ansonsten ist $g$ Grenzwert einer wachsenden Folge einfacher Funktionen. Dann folgt die Gleichung aus dem Satz über die monotone Konvergenz.
- Ist $f\colon X\to [0,\infty)$ und $g\in\mathcal L_0(X,\mu,E)$, so gilt nach 2.3.8. $$f\cdot g\in\mathcal L_1(X,\mu,E) \iff \int_X|f\cdot g|\,d\mu=\int_X|g|\,d\left(f\odot\mu\right)\lt\infty\iff g\in\mathcal L_1(X,f\odot\mu,E).$$ Ist dies erfüllt, so ist $g$ punktweise $\mu$-f.ü. Grenzwert einer Folge $(g_j)_{j\in\mathbb N}$ mit $g_j\in \mathcal {EF}(X,f\odot\mu,E)$, welche Cauchy ist bezüglich der $\|\,.\,\|_{1}$-Halbnorm zum Maß $f\odot\mu$. In der Gleichungskette $$\int_Xg\,d\left(f\odot\mu\right)
=\lim_{j\to\infty}\int_Xg_j\,d\left(f\odot\mu\right)
=\lim_{j\to\infty}\int_Xfg_j\,d\mu
=\int_Xfg\,d\mu$$ folgt die erste Gleichung aus der Definition des Integrals bezüglich des Maßes $f\odot\mu$, die zweite aus der Definition von $f\odot\mu$, zusammen mit der Linearität des Integrals. Die dritte Gleichung folgt aufgrund der Stetigkeit des Integrals, da die Folge $(fg_j)_{j\in\mathbb N}$ Cauchy ist bezüglich der $\|\,.\,\|_{1}$-Halbnorm zum Maß $\mu$, mithin konvergent mit Grenzwert $fg$. Die Äquivalenz der beiden Cauchy-Eigenschaften folgt aus iv. wegen der Identität $$\int_X |fg_n-fg_m|\,d\mu=\int_X f|g_n-g_m|\,d\mu=\int_X |g_n-g_m|\,d\left(f\odot\mu\right).$$
Erinnerung. Es sei $X\subset \mathbb R^n$ eine offene Teilmenge. Für eine stetig differenzierbare Abbildung $f=(f^1,\ldots,f^n)\colon X\to\mathbb R^n$ ist die Jacobische definiert als die Matrix $$Df=\begin{pmatrix}\frac{\partial f^1}{\partial x^1}&\cdots& \frac{\partial f^1}{\partial x^n}\\
\vdots&&\vdots\\
\frac{\partial f^n}{\partial x^1}&\cdots& \frac{\partial f^n}{\partial x^n}\end{pmatrix}$$ von partiellen Ableitungen der Komponenten. Ein zentraler Satz aus der Analysis 2 besagt, dass $f$ ein lokaler Diffeomorphismus ist, falls $\det(Df)\not=0$ gilt. Das heißt, gilt $Df(p)\not=0$ für einen Punkt $p\in X$, so bildet $f$ eine offene Umgebungen $U$ von $p$ bijektiv auf eine offene Umgebung $V$ von $f(p)$ ab und die Umkehrabbildung ist ebenfalls stetig differenzierbar. Gilt $\det(Df)\not=0$ und ist $f\colon X\to Y$ global bijektiv, so nennt man $f$ einen $\mathcal C^1$-Diffeomorphismus.
2.6.3. Transformationssatz. Es sei $f\colon X\to Y$ ein $\mathcal C^1$-Diffeomorphismus zwischen offenen Teilmengen von $\mathbb R^n$.
- Die Abbildung $f$ ist messbar, sowohl bezüglich der Borelschen $\sigma$-Algebren $\mathfrak B(X)$ und $\mathfrak B(Y)$, wie auch bezüglich der Lebesgueschen $\mathfrak L(X)$ und $\mathfrak L(Y)$.
- Bezeichnen $\lambda_X$ und $\lambda_Y$ die auf die jeweiligen offenen Teilmengen eingeschränkten Lebesgueschen Maße, so gilt $$f_\ast\left(|\det(Df)|\odot \lambda_X\right)=\lambda_Y.$$
- Es ist $g\in \mathcal L_1(Y,\lambda_Y,E)$ genau dann, wenn $(g\circ f)\left|\det(Df)\right|\in\mathcal L_1(X,\lambda_X,E)$. Für derartige Funktionen gilt $$\int_Yg\,d\lambda_Y=\int_Xg\circ f\left|\det(Df)\right|\,d\lambda_X.$$
Der analytische Kern des Beweises lässt sich in folgender Aussage isolieren, die wir separat beweisen. Die Borelschen Maße $\beta_X$ und $\beta_Y$ sind die Einschränkungen der Lebesgues-Maße auf die jeweiligen Borelschen $\sigma$-Algebren.
2.6.4. Lemma. Es sei $f\colon X\to Y$ ein $\mathcal C^1$-Diffeomorphismus zwischen offenen Teilmengen von $\mathbb R^n$. Bezeichnen $\beta_X$ und $\beta_Y$ die auf die jeweiligen offenen Teilmengen eingeschränkten Borelschen Maße, so gilt $$f_\ast\left(|\det(Df)|\odot \beta_X\right)=\beta_Y.$$
Beweis von 2.6.3. Ein Diffeomorphismus und dessen Umkehrabbildung sind stetig. Die Abbildung $f$ bildet die offenen Teilmengen von $X$ bijektiv auf die offenen Teilmengen von $Y$ ab und induziert folglich eine Bijektion zwischen den davon erzeugte $\sigma$-Algebren $\mathfrak B(X)$ und $\mathfrak B(Y)$. Insbesondere ist $f$ messbar bezüglich der Borelschen $\sigma$-Algebren. Ist $A\in \mathfrak L(Y)$, so gibt es nach Satz 1.6.1. eine Borelmenge $B\subset A$, so dass $B\setminus A$ eine $\lambda_Y$-Nullmenge ist. Wendet man 1.6.1. auf das Komplement $X\setminus A$ an, so erhält man eine Borelmenge $B'\supset A$, so dass $B'\setminus A$ eine $\lambda_Y$-Nullmenge ist. Insgesamt ist $N=B'\setminus B$ eine $\beta_Y$-Nullmenge und es gilt $f^{-1}(B)\subset f^{-1}(A)\subset f^{-1}(B')$. Um zu zeigen, dass $f^{-1}(A)$ eine $\lambda_X$-messbare Menge ist, reicht es wegen der Vollständigkeit von $\mathfrak L(X)$ zu zeigen, dass $f^{-1}(N)$ eine $\beta_X$-Nullmenge ist. Dies folgt aus 2.6.4, denn es ist \begin{align}\beta_X\left(f^{-1}(N)\right)&=f_\ast\beta_X(N)=f_\ast f_\ast^{-1}\left(|\det(Df^{-1})|\odot\beta_Y\right)(N)\\&=|\det(Df^{-1})|\odot\beta_Y(N)=\int_N |\det(Df^{-1})|\,d\beta_Y =0.\end{align} Mit dem gleichen Argument schließt man, dass ii. aus Lemma 2.6.4. folgt. Die Aussage iii. schließlich folgt aus 2.6.2. aufgrund der Identitäten $$\int_Yg\,d\lambda_Y=\int_Xg\circ f\,d\left(|\det(Df)|\odot\lambda_X\right)=\int_Xg\circ f\,|\det(Df|\,d\lambda_X.$$ qed
Der Beweis von 2.6.4 ist etwas umfangreicher. Wir betrachten zuerst den Spezialfall einer affin linearen Abbildung.
2.6.5. Lemma. Ist $\phi\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^n$ affin linear, also von der Form $x\mapsto c+Lx$ mit $c\in \mathbb R^n$ und einer $n\times n$-Matrix $L$, so gilt $$|\det L| \phi_*\lambda_n=\lambda_n.$$
Beweis von 2.6.5. Aus der linearen Algebra wissen wir, dass sich jede Matrix als Produkt von Elementarmatrizen darstellen lässt. Ist $\phi=\psi\circ \tau$ Komposition affiner Abbildungen, so gilt $\phi_*\lambda_n=\psi_*\left(\tau_*\lambda_n\right)$ und $\det L=\det(D\phi)=\det(D\psi)\det(D\tau)$. Es reicht also, die Behauptung für Translationen und die durch Elementarmatrizen beschriebenen linearen Abbildungen zu beweisen. Translationen und durch diagonale Elementarmatrizen beschriebene lineare Abbildungen bilden die Überdeckungsklasse der verallgemeinerten Intervalle in sich ab und multiplizieren deren Volumen mit dem Faktor $|\det(L)|$. Die von den Volumen induzierten äußeren Maße unterscheiden sich folglich um genau diesen Faktor, das heißt es gilt $|\det(L)| \phi_*\lambda^*_n =\lambda^*_n$. Zu betrachten bleibt einzig der Fall einer Scherung, das heißt einer linearen Abbildung, die beschrieben wird durch eine Matrix der Form $E_{ij}$ mit $i\not= j$. Diese unterscheidet sich von der Einheitsmatrix durch eine Eins an der $(i,j)$-ten Stelle.
Sei $\phi$ also eine Scherung mit $D\phi=L=E_{ij}$. Ist $A\subset \mathbb R^n$ messbar, so gilt für die charakteristische Funktionen $$\chi_{\phi^{-1}(A)}(x_1,\ldots,x_n)
=\chi_A(x_1,\ldots,x_i+x_j,\ldots,x_j,\ldots,x_n).$$ Das Integral $$\phi_*\lambda_n(A)=\lambda_n\left(\phi^{-1}(A)\right)=\int_{\mathbb R^n}\chi_{\phi^{-1}(A)}\,d\lambda_n$$ können wir mittels Fubini auswerten. Wir setzen $Y=\mathbb R$ als die $i$-te Koordinate und $X=\mathbb R^{n-1}$ als die restlichen Koordinaten. Für fixiertes $x\in X$ berechnet sich das Integral $$\int_Y \chi_A(x_1,\ldots,y+x_j,\ldots,x_j,\ldots,x_n)\,d\lambda(y)=\int_Y \chi_A(x_1,\ldots,y,\ldots,x_j,\ldots,x_n)\,d\lambda(y),$$ da es sich um Integrale charakteristischer Funktionen zu zwei Mengen in $\mathbb R$ handelt, welche durch eine Translation um $x_j$ auseinander hervorgehen. Der Satz von Fubini liefert also $$|\det L| \phi_*\lambda_n(A)= \phi_*\lambda_n(A)=\lambda_n(A)$$ und damit die Behauptung.
qed
Erinnerung. Es sei $X$ eine Menge. Eine Algebra $\mathcal A$ auf $X$ ist eine Familie von Teilmengen von $X$ mit $\emptyset\in\mathcal A$, so dass für alle $A,B\in \mathcal A$ gilt: $A\cup B, A\cap B, A\setminus B\in \mathcal A$.
Im Folgenden interessiert uns insbesondere die Algebra $\mathcal A$ auf $\mathbb R$ bestehend aus endlichen disjunkten Vereinigungen von Intervallen der Form $[a,b)$ mit $a,b\in \mathbb Q^n$.
2.6.6. Definition. Es sei $\mathcal A$ eine Algebra auf $X$. Eine Funktion $\mu\colon \mathcal A\to [0,\infty]$ heißt Maß auf $\mathcal A$, falls gilt $\mu(\emptyset)=0$ und falls für jedes $A\in \mathcal A$, das sich als abzählbare disjunkte Vereinigung $A=\sqcup_{j\in J}A_j$ von Elementen $A_j\in \mathcal A$ darstellen lässt, gilt $$\mu\left(\sqcup_JA_j\right)
=\sum_J\mu(A_j).$$
2.6.7. Satz von Hahn. Es sei $ \mathcal A $ eine Algebra auf $X$ und $\mu\colon\mathcal A\to [0,\infty]$ ein Maß auf dieser Algebra. Es bezeichne $\mathfrak A$ die von $\mathcal A$ erzeugte $\sigma$-Algebra.
- Ist $X$ abzählbare Vereinigung von Mengen aus $\mathcal A$, so ist das durch die Überdeckungsklasse $\mathcal A$ und die Funktion $\mu$ erzeugte äußere Maß $\mu^*$, definiert für $Z\subset X$ durch $$
\mu^*(Z):=\inf\left\{\sum_{j\in J}\mu(A_j)\,\middle|\, J \text{ abzählbar, } A_j\in \mathcal A, Z\subset \cup_{j\in J}A_j\right\},$$ ein Maß auf $\mathfrak A$, das $\mu$ erweitert. Elemente $A$ von $\mathcal A$ sind insbesondere $\mu^*$-messbar und es gilt $\mu^*(A)=\mu(A)$. - Ist $X$ darüber hinaus abzählbare Vereinigung von Mengen aus $\mathcal A$ mit jeweils endlichem Maß, so ist diese Erweiterung von $\mu$ eindeutig.
Beweis von 2.6.7. Ist $(A_j)_{j\in \mathbb N}$ eine Folge von Elementen in $\mathcal A$, so ist rekursiv durch $A'_1=A_1$ und $A'_{j+1}:=A_{j+1}\setminus\left(\cup_{k=1}^jA_k\right)$ eine Folge $(A'_j)$ paarweise disjunkter Elemente $A'_j\in \mathcal A$ definiert, für die gilt $A'_j\subset A_j$ und $\cup_{j\in\mathbb N}A_j=\sqcup_{j\in \mathbb N}A'_j$. Wir können folglich bei abzählbaren Überdeckungen durch Elemente von $\mathcal A$ ohne Einschränkung der Allgemeinheit fordern, die Überdeckungsmengen seien paarweise disjunkt. Da nach Voraussetzung $\mu$ ein Maß auf $\mathcal A$ ist, gilt für $A'_j\subset A_j$ jeweils $\mu(A'_j)\le\mu(A_j)$.
- Es sei $A\in \mathcal A$. Es gilt $\mu^*(A)\le \mu(A)$, da $A$ eine abzählbare Überdeckung seiner selbst darstellt. Gegeben eine Toleranzgrenze $\varepsilon\gt 0$, existiert eine abzählbare Überdeckung $(A_j)_{j\in J}$ von $A$ durch Elemente $A_j\in \mathcal A$ mit $\sum_J\mu(A_j)\lt \mu^*(A)+\varepsilon.$ Wir können annehmen, die Überdeckungselemente $A_j$ seien paarweise disjunkt. Es gilt $A=\sqcup_{j\in J}(A\cap A_j)$ und damit $$\mu(A)=\sum_{j\in J}\mu(A\cap A_j)\le\sum_{j\in J}\mu(A_j)\le \mu^*(A)+\varepsilon.$$ Im Grenzwert $\varepsilon\to 0$ erhalten wir $\mu(A)\le \mu^*(A)$ und damit $\mu^*(A)= \mu(A)$.
Zum Nachweis der $\mu^*$-Messbarkeit von $A$ sei $D\subset X$ eine Teilmenge und $(A_j)_{j\in J}$ eine abzählbare Überdeckung von $D$ durch paarweise disjunkte Elemente in $\mathcal A$, sowie $(B_{j'})_{j'\in J'}$ eine paarweise disjunkte Folge in $\mathcal A$ mit $X=\sqcup_{j'\in J'}B_{j'}$. Dann sind $(A_j\cap A)_{j\in J}$ und $\left(A_j\cap(B_{j'}\setminus A)\right)_{(j,j')\in J\times J'}$ abzählbare Überdeckungen von $D\cap A$ und $D\cap (X\setminus A)$ durch Elemente von $\mathcal A$ und es gilt $$\sum_{j\in J}\mu(A_j) =\sum_{j\in J}\mu(A_j\cap A)+\sum_{(j,j')\in J\times J'}\mu\left(A_j\cap(B_{j'}\setminus A)\right)\ge \mu^*(D\cap A)+\mu^*\left(D\cap (X\setminus A)\right)$$ und folglich $\mu^*(D) \ge \mu^*(D\cap A)+\mu^*\left(D\cap (X\setminus A)\right)$. Die Menge $A$ ist somit $\mu^*$-messbar. - Es sei $\nu\colon\mathfrak A\to [0,\infty]$ ein Maß mit $\nu(A)=\mu(A)$ für alle $A\in \mathcal A$. Es sei $(B_{j'})_{j'\in J'}$ eine abzählbare Überdeckung von $X$ durch paarweise disunkte Mengen $B_{j'}\in \mathcal A$ mit $\mu(B_)\lt\infty$.
Sei nun $C\in\mathfrak A$. Wegen $\nu(C)=\sum_{J'}\nu\left(C\cap B_{j'}\right))$ und $\mu(C)=\sum_{J'}\mu\left(C\cap B_{j'}\right))$ reicht es zu zeigen: $\nu\left(C\cap B_{j'}\right)=\mu\left(C\cap B_{j'}\right)$ für alle $j'\in J'$. Sei also ohne Einschränkung der Allgemeinheit $C\subset B$ für ein $B\in\mathcal A$ mit $\mu(B)\lt \infty$. Dann gilt $$\mu(C)=\inf\left\{\sum_J\mu(A_j)\right\}=\inf\left\{\sum_J\nu(A_j)\right\},$$ wobei das Infimum über alle abzählbaren Überdeckungen $(A_j)_{j\in J}$ von $C$ durch $A_j\in \mathcal A$ genommen wird. Wegen der $\sigma$-Subadditivität von $\nu$ folgt $\nu(C)\le\mu(C)$. Analog gilt $\nu(B\setminus C)\le \mu(B\setminus C)$. Aus der Ungleichungskette
$$\mu(B)=\nu(B)=\nu(C)+\nu(B\setminus C)\le \mu(C)+\mu(B\setminus C)=\mu(B)$$ ergibt sich schließlich die behauptete Gleichung $\nu(C)=\mu(C)$.
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2.6.8. Lemma. Es sei $f\colon X\to Y$ ein $\mathcal C^1$-Diffeomorphismus zwischen offenen Teilmengen von $\mathbb R^n$, und es bezeichne $\beta_n$ das Borelsche Maß auf $\mathbb R^n$. Dann gilt $$\beta_n\left(f(I)\right)\le
\int_I|\det(Df)|\,d\beta_n$$ für jedes Intervall $I=[a,b)$ mit $a,b\in \mathbb Q^n$ und $\overline{I}\subset X$.
Beweis von 2.6.8. Wir fixieren als Norm auf $\mathbb R^n$ die $\|\,.\,\|_\infty$-Norm. Das heißt, für $v=(v_1,\ldots,v_n)$ setzen wir $\|v\|:=\|v\|_\infty=\max_{k\le n}|v_k|$. Die zugehörige Operatornorm für Endomorphismen $T$ des $\mathbb R^n$ ist dann definiert durch $$\|T\|:=\max_{v\in\mathbb R^n\setminus \{0\}}\frac{\|Tv\|}{\|v\|}.$$ Als Vorüberlegung betrachten wir den Spezialfall eine Würfels $I=W=[m-\frac{r}2{\bf1},m+\frac{r}2{\bf1})$ mit Mittelpunkt $m$ und Kantenlänge $r\gt 0$. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gilt $$\|f(x)-f(m)\|\le K\|x-m\|\quad \text{ für }\quad x\in \overline{W}, K:=\max_{y\in\overline{W}}\|Df(y)\|.$$ Ist also $x\in W$, so gilt $f(x)\in [f(m)-\frac{Kr}2{\bf1},f(m)+\frac{Kr}2{\bf1})$ und folglich $\beta_n\left(f(W)\right) \le K^n\beta_n\left(W\right).$
Sei nun eine Toleranzgrenze $\varepsilon\gt 0$ vorgegeben. Es bezeichne $M:=\max_{x\in\overline{I}}\left\|\left(Df(x)\right)^{-1}\right\|$. Die Ableitung $Df$ ist gleichmäßig stetig auf dem Kompaktum $\overline{I}$. Wir finden also ein $\delta\gt0$ mit $$\|Df(x)-Df(y)\|\le\frac\varepsilon{M}\quad\text{ für alle }x,y\in \overline{I}\,\text{ mit }\|x-y\|\lt\delta.$$ Da die Intervallgrenzen rational sind, können wir $I$ durch Unterteilen der Kanten in $N$ disjunkte Würfel $W_j=[a_j,a_j+r{\bf1})$ der Kantenlänge $r\lt\delta$ zerlegen. Für jedes $j\le N$ wählen wir $x_j\in \overline{W_j}$ mit $|\det Df(x_j)]=\min_{y\in \overline{W_j}}|\det Df(y)|$ und setzen $T_j:=Df(x_j)$ und $g_j:=T_j^{-1}\circ f$. Die Ableitung dieser Funktionen können wir wegen $$Dg_j(y)=T_j^{-1}Df(y)=\mathrm{Id}_n+T^{-1}_j\left(Df(y)-Df(x_j)\right)$$ abschätzen durch $$\max_{y\in\overline{W_j}}\|Dg_j(y)\|\le 1+\varepsilon \quad \text{ für alle }j\le N.$$ Aus dem Transformationssatz für affin lineare Transformationen 2.6.5. erhalten wir $$\beta_n\left(f(W_j)\right)=\beta_n\left(T_jT_j^{-1}f(W_j)\right)=|\det T_j|\beta_n\left(g_j(W_j)\right)\le(1+\varepsilon)^n|\det T_j|\beta_n\left(f(W_j)\right).$$ Summation über alle Würfel liefert \begin{align}\beta_n\left(f(J)\right)&=\beta_n\left(\sqcup_{j=1}^Nf(W_j)\right)=\sum_{j=1}^N\beta_n\left(f(W_j)\right)\\
&\le (1+\varepsilon)^n \sum_{j=1}^N|\det T_j|\beta_n\left(W_j\right) \\
&\le (1+\varepsilon)^n \sum_{j=1}^N\int_{W_j} |\det Df|\,d\beta_n\\
&\le (1+\varepsilon)^n \int_{J} |\det Df|\,d\beta_n
\end{align} Im Grenzwert $\varepsilon\to0$ folgt die Behauptung.
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2.6.9. Korollar. Für jeden $\mathcal C^1$-Diffeomorphismus $f\colon X\to Y$ zwischen offenen Teilmengen von $\mathbb R^n$ gilt $$f_\ast^{-1}\beta_Y\le
|\det(Df)|\odot\beta_X.$$
Beweis von 2.6.9. Jedes Element der Algebra $$\mathcal A=\{\text{endliche disjunkte Vereinigungen von Intervallen der Form } [a,b)\mid a,b\in \mathbb Q^n, [a,b]\subset X\}$$ ist Borelsch. Umgekehrt lässt sich jede offene Teilmenge von $X$ als abzählbare Vereinigung von Elementen von $\mathcal A$ darstellen. Insgesamt folgt, dass $\mathcal A$ die $\sigma$-Algebra $\mathfrak B(X)$ erzeugt. Sei nun $B\subset X$ Borel-messbar. Ist $(A_j)_{j\in J}$ eine Überdeckung von $B$ durch Mengen aus $\mathcal A$, so gilt wegen 2.6.8. $$f_\ast^{-1}\beta_Y(B)\le \sum_{j\in J} f_\ast^{-1}\beta_Y(A_j)\le \sum_{j\in J}|\det(Df)|\odot\beta_X(A_j).$$ Nach dem Satz von Hahn gilt $$|\det(Df)|\odot\beta_X(B)=\inf \left\{\sum_{j\in J}|\det(Df)|\odot\beta_X(A_j)\,\middle|\, B\subset \cup_{j\in J}A_j, A_j\in\mathcal A\right\}.$$ Insgesamt erhalten wir $$f_\ast^{-1}\beta_Y(B)\le
|\det(Df)|\odot\beta_X(B)$$ und damit die Behauptung.
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Alle Ingredienzien zum Abschluss des Beweises sind nun zusammengetragen.
Beweis von 2.6.4. Nach 2.6.9. gilt $$\beta_Y=f_\ast f_\ast^{-1}\beta_Y\le
f_\ast|\det(Df)|\odot\beta_X.$$ Diese Identität, auf $f^{-1}$ angewandt, lautet $$\beta_X\le
f_\ast^{-1}|\det D(f^{-1})|\odot\beta_Y.$$ In Kombination erhalten wir für $B\in\mathfrak B_Y$ \begin{align}\beta_Y(B)&=\int_Y\chi_B\,d\beta_Y\\
&\le \int_Y\chi_B\,d\left(f_\ast|\det(Df)|\odot\beta_X\right)=\int_X \left(\chi_B\circ f\right)\cdot |\det(Df)| \,d\beta_X\\
&\le \int_X\left(\chi_B\circ f\right)\cdot |\det(Df)|\,d\left(f_\ast^{-1}|\det D(f^{-1})|\odot\beta_Y\right)\\
&=\int_Y \left(\chi_B\circ f \circ f^{-1}\right)\cdot\left(|\det(Df)|\circ f^{-1}\right)\cdot |\det D(f^{-1})|\,d\beta_Y\\
&=\int_Y \chi_B\,d\beta_Y=\beta_Y(B)\end{align} aufgrund der Kettenregel $\mathrm{id}=D\mathrm{id}=D(f\circ f^{-1})=\left(Df\circ f^{-1}\right)\cdot D(f^{-1})$. Die Ungleichungen sind folglich Gleichungen.
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